¿El resto debe ser siempre positivo?

Question

A mi primo, que está en el décimo curso, le dijo su profesor que los restos nunca son negativos. En un ejemplo concreto,

$$-48\bmod{5} = 2$$

Estoy un poco de acuerdo.

Pero mi abuelo insiste en que

$$-48 \bmod{5} = -3$$

¿Cuál es la verdad? ¿Por qué?

Answer 1

El primero dice que $-48$ es $2$ más que un múltiplo de $5$ . Esto es cierto. El segundo está diciendo que $-48$ es $3$ menos que un múltiplo de $5$ . Esto también es cierto.

Answer 2

El profesor tiene autoridad para definir los restos como números $r$ , $0\leq r < d$ donde $d$ es el divisor. Esto es sólo una elección sistemática para que todos los estudiantes puedan aplicar la misma regla y llegar a la misma respuesta, pero la regla es sólo una convención, no una "verdad". El profesor no se equivoca al definir los restos de esa manera, pero sería un error que insistiera en que no hay otra manera de definir un resto. Y, de todos modos, lo que dice tu abuelo también es perfectamente cierto :)

Imagino que la división larga ordinaria se enseña con esta regla del resto porque hace que la conversión de fracciones a decimales sea más suave cuando los alumnos lo hagan después. Otra razón es probablemente que la notación de fracciones mixtas (hasta donde yo sé) no tiene en cuenta los negativos en la fracción. Lo que quiero decir es que $1+\frac23=2-\frac13$ pero la fracción mixta $1\frac23$ no suele escribirse como $2\frac{-1}{3}$ aunque se podría argumentar que tiene el mismo sentido.

En cuanto a la aritmética modular, usted realmente quieren para tener la flexibilidad de cambiar entre estos números, e insistir en hacer los cálculos con la versión positiva todo el tiempo sería ponerte trabas.

Considere el problema de calcular $1445^{99}\pmod{1446}$ . No debería ser necesario calcular potencias y restos de potencias de $1445$ cuando se puede simplemente notar que $1445=-1\pmod{1446}$ y luego $1445^{99}=(-1)^{99}=-1=1445\pmod{1446}$

Answer 3

La respuesta depende de si quieres hablar de aritmética modular o de residuos. Estas dos perspectivas están estrechamente relacionadas, pero son diferentes. En la aritmética modular, $2\equiv -3 \pmod 5$ Por lo tanto, ambas respuestas son correctas. Esta es la perspectiva que han adoptado la mayoría de las respuestas aquí. En el algoritmo de la división, sin embargo, donde se definen los restos, con el fin de garantizar la singularidad, se necesita un rango específico para el resto - al dividir enteros $a$ por entero $d$ , se obtiene $a=qd+r$ y los enteros $q$ y $r$ son únicos si $0\leq r<d$ (nótese que esto también impone la restricción de que $d$ sea positivo). Hay otras formas de establecer la condición, pero se necesita un rango similar para garantizar la unicidad, y este rango es el más sencillo y común, por lo que en este sentido, un resto negativo no funciona.

Answer 4

He aquí una perspectiva diferente, más técnica, pero que también se refleja, por ejemplo, en Hardy y Wright.

En general, es mejor considerar la expresión $"-48 \mod 5"$ por sí sola como representación del conjunto de números $a:a\equiv -48 \mod 5$ por lo que no es igual a un número, sino a un conjunto.

[Técnicamente es un coset en $\mathbb Z$ del ideal generado por $5$ y se compone de los números $-48 + 5 b$ , donde $b$ es un número entero arbitrario].

A menudo es útil trabajar con números en lugar de con conjuntos, y elegimos un elemento representativo del conjunto para trabajar con él. Hay diferentes maneras de hacerlo (el menor positivo, el menor valor absoluto, etc.). En este caso $2$ y $-3$ son miembros del conjunto y pueden utilizarse para representarlo.

Answer 5

Cuando se divide -48 entre 5 el algoritmo de la división nos dice que hay un recordatorio "único" r que satisface $0\leq r<5$ . En ese caso sólo hay una posibilidad, a saber $r=2$ .