Dejemos que $Z_1 \rightarrow Z_2 \rightarrow\cdots$ sea una secuencia arbitraria de complejos CW y que $\Omega X$ denotan el espacio de bucles sobre $X$ . En "Topología algebraica" de Allen Hatcher ( http://pi.math.cornell.edu/~hatcher/AT/AT.pdf En la sección 4.F, últimas líneas) se afirma que el mapa natural $$\underset{\rightarrow}{\lim} \ \Omega Z_n \rightarrow \Omega \underset{\rightarrow}{\lim} \ Z_n$$ es una equivalencia homotópica débil (el mapa viene dado por la propiedad universal del límite directo); también recuerdo que el límite directo de una secuencia de complejos CW es el telescopio cartográfico. Estoy intentando demostrar este hecho pero no sé cómo proceder; en particular, no sé cómo relacionar los grupos de homotopía del telescopio cartográfico con los grupos de homotopía de los espacios $Z_n$ . Existe una relación para los grupos de homología, a saber $$H_i(\underset{\rightarrow}{\lim}\ Z_n)\simeq\underset{\rightarrow}{\lim}H_i(Z_n)$$ pero no sé cómo puede ayudar esto.
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La intuición clave es que el espacio del bucle es el espacio de los mapas de $S^1$ y que tales espacios de mapeo conmutan con límites directos hasta equivalencia débil porque $S^1$ es un complejo finito.
Más formalmente, la afirmación se desprende de la celularidad para los complejos relativos: cualquier mapa $(X,A)\to Y$ de complejos relativos que es celular en $A$ es homotópica rel $A$ a un mapa que es celular en $X$ . Así, todo mapa de un complejo relativo finito $(K,K')$ en $\varinjlim X_i$ factores hasta la homotopía rel $K'$ a través de un subcomplejo finito, y por tanto (quizás hasta otra homotopía relativa) a través de algún $X_i$ .
En particular, esto se aplica cuando $(K,K')=(S^k,*)$ lo que implica la subjetividad del mapa deseado en $\pi_k$ . Para la inyectividad, utilizamos $(K,K')=(S^k\wedge I_+,S^k\vee S^k)$ . El resultado de la factorización aquí implica que si los mapas $f,g:S^k\to X_i$ se convierten en homotópicos en $\varinjlim X_i$ se convierten en homotópicos ya en algunos $X_j$ que da el resultado.
Tenemos $\Omega = \operatorname{Map}_*(S^1, -)$ y $S^1$ es un espacio topológico compacto. Por lo tanto, $\Omega$ conmuta con los colímetros dirigidos dados por los cerrados $T_1$ -inclusiones (como un telescopio cartográfico de complejos CW).
En otras palabras, wlog podemos suponer $\{Z_n\}$ es una secuencia de inclusiones CW al pasar al telescopio cartográfico. Dado que $S^1$ es compacto, su imagen bajo un mapa $S^1 \to \varinjlim Z_n$ no puede escapar a más de un número finito de $Z_n$ y, por lo tanto, cada mapa $S^1 \to \varinjlim Z_n$ factores a través de alguna parte inicial $Z_m$ determinando así un elemento en $\Omega Z_m$ y en $\varinjlim \Omega Z_m$ . Esto proporciona un mapa inverso al natural $\varinjlim \Omega Z_n \to \Omega \varinjlim Z_n$ .
