En el resumen Bourbaki, el afín Weyl grupo está definido para ser una
semidirect producto de un irreductible grupo de Weyl con su coroot de celosía.
Esta es, naturalmente, un grupo de Coxeter, que se caracteriza en términos de su
positivo semidefinite Coxeter de la matriz. La teoría básica es desarrollado
independientemente de las aplicaciones en teoría de la Mentira, sino que es directamente utilizable si
empezar con un conectada semisimple algebraica de grupo (más de un algebraicamente
campo cerrado) y se requiere de su sistema radicular para ser irreductible de tipo a, B,
etc. La mayoría de las veces, esto no causa problemas. Aunque es natural de trabajo
con la conexión de un reductor de grupo, la gente suele usar la expresión "afín
Weyl grupo" muy flojo en este contexto general. Por ejemplo, el estándar
características de la alcoba de la geometría requiere irreductibilidad. De lo contrario, te
para trabajar con productos de simplexes, etc. En cualquier caso, la diferencia entre
reductiva y semisimple grupos como lineal general y especial lineal
a veces es significativa.
En el Iwahori-Matsumoto (o de Bruhat-Tits) sobre la creación de los campos de la región, un
más intrínseca afín grupo de Weyl se realiza directamente dentro de la estructura de
el grupo en sí. Aquí uno tiene que ser cautos en la aplicación de
resumen Coxeter teoría de grupo o BN-par de la teoría, como creo que la mayoría de los autores
son. Ya en el proceso de 1965 en Boulder AMS instituto de verano,
Iwahori tenido que formular una más complicado "generalizado BN-pair" formalismo
para esta situación. No estoy seguro de lo que se ha convertido en el estándar por ahora en la
la literatura.
En otras situaciones (el estudio clásico de compacto Mentira grupos, o
la posterior aplicación de los afín a grupos de Weyl en representación modular
la teoría de la partida con Verma) generalmente hay ninguna dificultad en que se especializa
a la irreductible caso. Aquí el afín Weyl grupo vive fuera de la
real del grupo en estudio. Esta es la situación en la que me siento más cómodo con.
Usted necesita para hacer que precisa el entorno en el que quiere estudiar reductora grupos, con el fin de adaptar el Bourbaki idioma y resultados.
Hay varias distintas cuestiones: 1) se necesita cuidado especial en el tratamiento de
desconectado algebraicas grupos como ortogonal grupos, o en el tratamiento de
reductora en lugar de semisimple grupos. 2) Adjunto grupos, simplemente
grupos conectados, y la presencia ocasional de tipo intermedio: no todos los detalles de
la estructura es exactamente la misma. 3) lo Más importante para el trabajo de más de
los campos de la región es el uso natural de un "extended afín Weyl grupo" (como en
mucho de Lusztig del trabajo que implica Hecke álgebras, células, etc.). Aquí
comience con el Bourbaki versión de los afín Weyl grupo (un grupo de Coxeter)
y formar una semidirect producto con un grupo finito $\Omega$ isomorfo al peso de celosía mod raíz de celosía (centro universal). Esto equivale a
trabajando con un semidirect producto del grupo de Weyl y la plena (co)peso
celosía en lugar de la (co)de la raíz de la celosía. Afortunadamente es fácil de extender
nociones tales como la longitud de la función a este amplio grupo de personas.
EDIT: Además de Bourbaki del tratamiento de los grupos de Coxeter y sistemas de raíces (1968),
fundacional documentos de la época incluyen Iwahori-Matsumoto (IES Publ. De matemáticas. 25, 1965), en http://www.numdam.orgy Iwahori de 1965 artículo en el AMS de Boulder procedimientos
http://www.ams.org/books/pspum/009/0215858/pspum0215858.pdf, seguido por mucho más la labor técnica de Bruhat-Tits.
Lusztig ha escrito muchos documentos técnicos sobre extendido afín a grupos de Weyl y correspondiente afín Hecke álgebras, incluyendo su serie de cuatro sobre las células en afín Weyl grupos y trabajo posterior sobre multiparámetro de los casos. Gran parte de este trabajo está motivado por reductiva de los grupos sobre los campos de la región, así como el sistema modular de la teoría de la representación de reductora grupos y álgebras de Lie (donde la "vinculación" de pesos aparece primero en relación a un largo afín grupo de Weyl).
