¿Cuándo es $max Spec R$ equivalente en homotopía con $Spec R$ (con topología Zariski)?

Question

Un anillo conmutativo con unidad se llama anillo pm si cada ideal primo está contenido en un único ideal maximal. En [dMO71] se demuestra que los anillos pm se caracterizan por el hecho de que $\operatorname{max Spec} R$ (el conjunto de todos los ideales maximales bajo la topología del subespacio de Zariski) es un repliegue de $\operatorname{Spec} R$ y en este caso, la retracción única viene dada por $u: \operatorname{Spec} R \to \operatorname{max Spec} R$ , $u(P)$ es el único ideal maximal que contiene $P\in \operatorname{Spec} R$ .

Además, se puede demostrar que, para los anillos pm, este repliegue es también un repliegue por deformación, porque $H : \operatorname{Spec} R \times [0,1] \to \operatorname{Spec} R$ dado por $H(P,t)=P, \forall t \in [0,1)$ y $H(P,1)=u(P)$ es continua, por lo que da una homotopía entre $i\circ u$ y $Id_{\operatorname{Spec} R}$ , donde $i:\operatorname{max Spec} R \to \operatorname{Spec} R$ es el mapa de inclusión.

Así que las preguntas que quiero hacer son las siguientes :

(1) ¿Podemos caracterizar (posiblemente caracterización algebraica) anillos conmutativos (con unidad) $R$ tal que $\operatorname{max Spec} R$ es equivalente en homotopía con $\operatorname{Spec} R$ ?

(2) ¿Podemos caracterizar los anillos conmutativos (con unidad) $R$ , de tal manera que $i : \operatorname {max} \operatorname {Spec} R \to \operatorname {Spec} R$ es una equivalencia homotópica, es decir, existe un mapa $g : \operatorname {Spec} R \to \operatorname {max} \operatorname {Spec} R$ tal que $i\circ g$ y $g \circ i$ son homotópicos a los respectivos mapas de identidad ?

Como se ha señalado, los anillos pm están definitivamente en la clase, pero ¿qué son todos los anillos de este tipo? Incluso si no podemos decir cuáles son todos esos anillos, ¿podemos al menos encontrar una clase de anillos para cada caso (1) y (2) que no sean necesariamente anillos pm?

---

Referencias.

[dMO71] De Marco, Giuseppe; Orsatti, Adalberto, Anillos conmutativos en los que todo ideal primo está contenido en un único ideal maximal , Proc. Am. Math. Soc. 30, 459-466 (1971). ZBL0207.05001 .

Answer 1

Esta no es una respuesta completa, sino algunos ejemplos para mostrar que la situación es un poco complicada. (Esta respuesta fue elaborada junto con Dmitrii Pirozhkov).

Lema. Dejemos que $R$ sea un dominio. Entonces $X = \operatorname{Spec} R$ es contraíble.

Prueba. De hecho, la inclusión del punto genérico $\eta$ es una deformación retraída, por el mapa \begin{align*} [0,1] \times X &\to X \\ (t,\mathfrak p) &\mapsto \left\{\begin{array}{ll}\mathfrak p, & t = 0, \\ \eta, & t > 0.\end{array} \derecha. \(Se puede demostrar fácilmente que este mapa es continuo). (Se demuestra fácilmente que este mapa es continuo). $\square$

Así, para un dominio, la cuestión es cuándo $\operatorname{Specmax} R$ es contraíble. Incluso para ejemplos sencillos como $R = k[t]$ el resultado depende del campo base $k$ :

Ejemplo. Dejemos que $R$ ser un $1$ -de un dominio noetheriano. Entonces $X = \operatorname{Specmax} R$ es un espacio topológico cofinito. Pero el tipo de homotopía depende de la cardinalidad de $X$ :

• Si $|X| = 1$ entonces $R$ es local y $X$ es evidentemente contraíble (ya que es un punto).
• Si $X$ es contable pero tiene más de $1$ elemento, entonces $X$ no está conectado a la ruta (véase, por ejemplo, este Puesto de MO ), por lo que, en particular, no es contraíble.
• Si $|X| \geq |\mathbb R|$ entonces podemos elegir una biyección $\phi \colon (0,1) \times X \to X$ . Ampliar $\phi$ a un mapa $\phi \colon [0,1] \times X \to X$ al establecer $\phi(0,-) = \operatorname{id}$ y $\phi(1,-) = \mathfrak m_0$ un mapa constante. Entonces cada fibra de $\phi$ es cerrado, por lo tanto $\phi$ es continua. Por lo tanto, $\phi$ es una homotopía de la identidad a un mapa constante, por lo que $X$ es contraíble.