Análisis funcional, operadores acotados

Question

Una pregunta, si $X$ y $Y$ son dos espacios de Banach y $A : X \rightarrow Y$ es un operador abierto lineal inyectivo, entonces $A$ tiene que estar acotado?

Answer 1

Desde $A$ es abierta, es suryectiva, por lo que tiene una inversa lineal $B\colon Y \rightarrow X$ . Para un conjunto abierto $O\subset X$ el conjunto $B^{-1}(O) = A(O)$ está abierto, por lo que $B$ es continua y, por tanto, acotada. Como consecuencia del teorema del mapa abierto, también $A=B^{-1}$ tiene que estar acotado.

¿Por qué la apertura implica subjetividad? Tomemos un conjunto abierto $O\subset X$ que contiene $0$ entonces también $A(O)$ está abierto y contiene $0$ . Ahora, para cualquier $y\in Y$ Hay un $0\neq \lambda \in \mathbb{R}$ (o $\mathbb{C}$ ) con $\lambda y \in A(O)\subset \text{range}(A)$ . El rango es un subespacio, por lo tanto también $y =\lambda^{-1}\cdot (\lambda y) \in \text{range}(A)$ Por lo tanto $A$ es suryente.

Answer 2

Un subespacio vectorial propio de $Y$ no puede tener un interior no vacío. Y tenemos por supuesto que $A(X)$ es un subespacio vectorial de $Y$ que está abierto, por lo que $A(X)=Y$ .

Ahora el resultado se deduce por el Teorema del Mapa Abierto: La apertura de $A$ junto con la biyección implican que $A^{-1}:Y\rightarrow X$ entonces $A^{-1}:Y\rightarrow X$ es abierto, dando la vuelta de nuevo obtenemos la acotación de $A=(A^{-1})^{-1}$ .