Quiero alguna prueba para la siguiente declaración:
$L^1$ y $L^{\infty}$ no son reflexivos.
¿Alguien me puede ayudar, por favor? ¿o referencia me?
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Emanuele Paolini
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Si $V$ es un espacio de Banach llamamos a $V'$ el doble de espacio (véase el continuo espacio dual en la wikipedia), es decir, el espacio de lineal continuo funcionales $\xi \colon V\to \mathbb R$. Entonces es bien sabido que existe un natural de inyección $$ J \colon V \V" $$ definido por $$ J(v)(\xi) = \xi(v) $$ para todos los $\xi \in V'$. Sabemos que $J$ es una isometría, en particular: lineal, continua e inyectiva (ver doble doble). Decimos que $V$ es reflexiva si $J$ es también surjective es decir, si todos los $T\in V''$ puede ser escrito como $J(v)$ algunos $v\in V$ (véase la reflexividad en la wikipedia). No es difícil probar que si $V$ es reflexiva, por lo que es $V'$ (de hecho el ser $V''$ isomorfo a $V$ uno encuentra que las $V'''$ es isomorfo a $V'$ ver propiedades).
Sabemos que $(L^1)'$ puede ser representado por $L^\infty$. Esto significa que, dado cualquier $\xi \in (L^1)'$ existe $f\in L^\infty$ tal que $$ \xi(g) = \int f \cdot g $$ para todos los $g\in L^1$ (ver duales de espacios de $L^p$ en la wikipedia). Lo que queremos demostrar es que existe un funcional lineal continuo $T\colon L^\infty\to \mathbb R$ que no puede ser escrito como $T = J(f)$ cualquier $f\in L^1$.
Deje $W$ ser el subespacio de $L^\infty$ compuesta por funciones continuas. Definir el operador lineal $T:W\to \mathbb R$ por $$ T(f) = f(0) $$ y aviso que $T$ es continua con respecto a la norma de $L^\infty$:$|T(f)| = |f(0)| \le \sup |f| = \Vert f\Vert_{L^\infty}$. Por lo tanto, de Hahn-Banach teorema se puede extender a un continuo lineal de la función en todo el espacio $T:L^\infty \to \mathbb R$.
Supongamos ahora que $T=J(f)$ algunos $f\in L^1$. Esto significa que $T$ puede ser representado como: $$ T(g) = \int f \cdot g $$ para algunos $f\in L^1$. Entonces sabemos que el $\int f\cdot g = g(0)$ para todas continua y acotada $g$. Ahora observe que, dado cualquier $x_0\neq 0$$\epsilon <|x_0|$, es posible encontrar funciones continuas $g_k$ con apoyo en $[x_0-\epsilon,x_0+\epsilon]$ que convergen en $L^\infty$ a la función característica del intervalo de $[x_0-\epsilon,x_0+\epsilon]$. Tenemos por lo tanto, encontrar que $$ 0 = \frac{1}{2\epsilon}\int f \cdot g_k \a \frac{1}{2\epsilon}\int_{x_0-\epsilon}^{x_0+\epsilon} f(x)\,dx $$ para todos los $\epsilon>0$. Pero si $x_0$ es un punto de Lebesgue (wikipedia) por $f$ ejemplo de una integral debe converger a $f(x_0)$ al $\epsilon\to 0$. Por lo tanto $f(x_0)=0$ para todos los puntos de Lebesgue $x_0\neq 0$, lo que significa (ya que casi cada punto es un punto de Lebesgue) que $f=0$ en casi todas partes. Pero entonces debemos concluir que $T=0$ lo cual es una contradicción.
Por lo tanto hemos encontrado $T\in (L^\infty)'$ que no está representado por ningún $f \in L^1$. Esto significa que $(L^\infty)' \supsetneq L^1$ y, por tanto, $L^1$ $L^\infty$ no reflexiva.
