Condición necesaria y suficiente para la convergencia uniforme.

Question

Dejemos que $a_n$ y $b_n$ sean secuencias reales y que $f_n(x) = a_nx + b_nx^2$ sea una secuencia de polinomios. ¿Cuáles deben ser las condiciones necesarias y suficientes para las secuencias $a_n$ y $b_n$ para que el $f_n$ converge uniformemente a $f(x) = 0$ en $\mathbb{R}$ ?

Tengo algunas conclusiones: Dado que la convergencia es unforme, $\lim_{n\rightarrow \infty}f_n(1) = \lim (a_n + b_n) = 0$ . Del mismo modo, para $x = -1$ tenemos $\lim(-a_n + b_n) = 0$ . Sumando, obtenemos $\lim{b_n} = 0$ , por lo que también tenemos $\lim a_n = 0$ . Pero estas condiciones no son suficientes.

Answer 1

Las condiciones necesarias y suficientes para $f_n(x) = a_n x + b_n x^2$ para converger uniformemente a $f(x) \equiv 0$ es que existe $N > 0$ tal que $a_n = b_n = 0$ para $n > N$ . Es decir, las secuencias deben estabilizarse en $0$ después de un número finito de términos.

Para ver por qué es así, supongamos que $f_n \rightarrow 0$ de manera uniforme. Entonces, en particular, podemos encontrar $N > 0$ de manera que si $n > N$ entonces

$$ \sup_{x \in \mathbb{R}} |a_n x + b_n x^2| < 1. $$

Sin embargo, $\sup_{x \in \mathbb{R}} |a_n x + b_n x^2| = \infty$ a menos que $a_n = b_n = 0$ y así obtenemos $a_n = b_n = 0$ para todos $n > N$ .