Deformación de la Tierra causada por la fuerza centrífuga

Question

La fuerza centrífuga provoca una distensión en el ecuador. Con un modelo sencillo podemos estimar la dimensión de este elipsoide de deformación. Partimos de una masa $m$ en el punto $P$ en la superficie de la tierra deformada a la altura $h$ sobre la tierra no deformada.

Suponga que todas las partículas están en estado de equilibrio en la superficie. Demostrar que la altura de la partícula se puede describir como: $$h = \frac{R^2\omega^2}{6g}(3sin^2 \theta-2).$$

He recibido algunos consejos sobre cómo abordar este problema: $$U_{total} = mgh - \frac{m}{2}\omega^2x^2 + C$$ Determinar h a partir de la energía potencial, cuando la partícula está en equilibrio.

Utiliza las coordenadas esféricas.

Supongamos que el volumen de la tierra deformada es el mismo que el de la tierra no deformada.

Integrar sobre la superficie esférica (eso es lo que no entiendo)

Aquí hay una imagen del problema:

El primer paso es fácil: $$mgh = \frac{m}{2}\omega^2x^2 + C$$ con $x=r*sin(\theta)$ $$h=\frac{\omega^2R^2sin^2(\theta)}{2g} + B$$ con $B = -C/mg$ .

A partir de este momento no entiendo cómo seguir procesando. Hemos resuelto para $h$ . ¿Por qué tengo que integrarme? Y mucho más confuso, ¿por qué integrar sobre la superficie esférica? ¿Cuál es el principio detrás de esto?

Answer 1

En tus comentarios en tu respuesta a @Floris, estás haciendo mal la integral. El elemento de volumen es $dV=r^2\sin\theta\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta\,\mathrm d\phi$ sino porque $r=R+h\approx R$ se puede aproximar (después de tomar la integral radial y la integral acimutal) como $2\pi R^2h\sin\theta\,\mathrm d\theta$ . Te faltaba ese factor de $\sin\theta$ . Utilizando $A=\frac{\omega^2R^2}{2g}$ ,

$$\int_0^\pi (A\sin^2\theta+B)\sin\theta\,\mathrm d\theta=\frac{4}{3}A+2B$$

Por lo tanto, la diferencia de volumen con respecto a una esfera es $4\pi R^2\left(\frac{\omega^2R^2}{3g}+B\right)$ . Si se establece que es igual a $0$ obtiene un valor de $-\frac{\omega^2R^2}{3g}$ para $B$ que es el resultado que buscas.