Representación de $SU(2)$ , es decir, el giro

Question

Dejemos que \begin{equation} X= \begin{bmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\\ \end{bmatrix} , \qquad Y= \begin{bmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0\\ \end{bmatrix} , \qquad H= \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1\\ \end{bmatrix}\tag{1} \end{equation} Si $V_m$ es el $(m+1)$ -representación compleja de $\text{sl}(2,\mathbb{C})$ entonces sabemos que existe una base $u_m,u_{m-2},...,u_{-m}$ tal que $u_k$ es el vector propio de $H$ con valor propio $k$ y $Y u_k = u_{k-2}$ .

En la física, en cambio, escribimos $S_{\pm} =X,Y$ y $S_z = H/2$ y utilizar la base $|s,m_s \rangle$ tal que $$\begin{align} S_z |s,m_s \rangle &= m_s |s,m_s \rangle \\ S_{\pm} |s,m_s \rangle &= \sqrt{s(s+1)-m_s (m_s \pm 1)} |s,m_s \pm 1\rangle \end{align}\tag{2}$$ y que $|s,m_s \rangle$ son ortogonales.

¿Hay alguna razón más profunda por la que pongamos los coeficientes delante de $|s,m_s \rangle$ cuando $S_{\pm}$ actúa en él y por qué $|s,m_s \rangle$ son ortogonales?

Answer 1

En el caso concreto de la representación bidimensional, los coeficientes son 1, por lo que no importa mucho. En cambio, para las representaciones de mayor dimensión de $SU(2)$ los coeficientes de delante no son triviales, v.g. su operador de elevación $$ X\to \sqrt{2}\left(\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&1\\ 0&0&0\end{array}\right) $$ y para representaciones aún mayores los coeficientes no son todos iguales, $v.g.$ $$ X\to \left(\begin{array}{ccc}0&2&0&0&0\\0&0&\sqrt{6}&0&0\\ 0&0&0&\sqrt{6}&0\\ 0&0&0&0&2\end{array}\right)\, . $$

Si no tienes los coeficientes correctos tus matrices no serán una representación hermitiana y por lo tanto no expondrán a una rep unitaria. Alternativamente, si tus estados base no están correctamente normalizados tampoco obtendrás una rep. unitaria. Queremos que sea unitaria porque preserva el producto interno (complejo) $\langle \phi\vert\psi\rangle$ y (por ejemplo) las probabilidades de los resultados dependen de dichos solapamientos.

Answer 2

La diferencia entre un sistema abstracto (de dimensiones finitas) $su(2)$ Representación del álgebra de Lie $\rho:su(2)\to V$ y aplicaciones en la física cuántica, es que el espacio vectorial $V$ en la física cuántica es típicamente un espacio de Hilbert complejo. En otras palabras, en la física cuántica $V$ Además, está equipado con un forma sesquilínea y la imagen $\rho(su(2))$ debe consistir en (anti)Hermitianos $^1$ operadores, es decir, la representación debe ser unitaria. Esto, a su vez, garantiza que los operadores son diagonalizables (aunque no simultáneamente), y los vectores propios son ortogonales. Los valores propios de la ecuación de OP. (2) están dictados (en gran medida) por la representación unitaria.

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$^1$ Hermitiana o antihermitiana según las convenciones para los factores de $i$ .