"Conjuntos", "clases" y "colecciones": ¿cuál es la diferencia?

Question

Después de leer sobre la Paradoja de Russel y la paradoja de Burali-Forti, he estado investigando sobre cómo clases trabajo.

En Wikipedia , a clase se define vagamente como

una colección de conjuntos (o a veces de otros objetos matemáticos) que puede definirse sin ambigüedad por una propiedad que comparten todos sus miembros.

¿Qué significa exactamente "colección" aquí? Tenía la impresión de que el propósito de definir formalmente establece era formalizar la noción intuitiva de "colección", pero la existencia de clases que no son conjuntos implica que los conjuntos no formalizan adecuadamente nuestra noción de "colección".

Si $\Omega$ (digamos) es la clase de todos los conjuntos, y las clases tienen prohibido contenerse a sí mismas, podríamos definir $\Omega’$ como la "colección" de todas las clases, tal que $\Omega’$ es un tipo de colección que no es una clase (llámese metaclase ). Del mismo modo, podemos definir el meta-meta-clase $\Omega’’$ como la clase de todas las metaclases, y así sucesivamente... finalmente podemos definir $\Omega^n$ para cualquier número finito $n$ y $\Omega^\alpha$ para cualquier ordinal $\alpha$ e incluso definir $\Omega^\Omega$ como la "colección" de todos los objetos de la forma $\Omega^\alpha$ , donde $\alpha$ es un ordinal. Y así sucesivamente.

Básicamente, tenemos que seguir definiendo nuevos tipos de contenedores "superiores" para contener los tipos de contenedores anteriores, con el fin de evitar la paradoja. Pero todas estas cosas aparentemente siguen siendo "colecciones" (intuitivamente). ¿Tiene sentido hablar de una "colección de todas las colecciones", o resulta paradójico?

Así que mi pregunta es: qué exactamente ¿significa "colección"? ¿Por qué es tan difícil formalizar nuestra intuitivo noción de "colección", y ¿por qué han fracasado los conjuntos y las clases? ¿Qué propiedades tienen las "colecciones" que establece y clases (y meta-clases y meta-meta-clases etc.) no tienen?

Answer 1

En algún momento, en cualquier sistema de formalismo matemático, hay que tener una definición que sea intuitiva y no formal, al igual que no se puede esperar tener un diccionario de inglés que defina todas las palabras sin circularidad. Una "colección" es exactamente lo que esperamos que sea: es lo que piensas cuando piensas en la palabra "colección". Los "conjuntos" y las "clases (propias)" son tipos particulares de colección, que se distinguen por el formalismo que hemos introducido para tratar de precisar la "colección".

En cuanto a por qué es tan difícil: Bueno, porque nuestra noción intuitiva de "colección" es autocontradictoria, por la prueba de Russell. La cuestión es que queremos decir que una "colección" no es sólo una colección, sino también una cosa que podría colocarse en una colección. Eso parece intuitivamente razonable, pero resulta que no lo es. Así que no es que "conjunto" y "clase" no formalicen una idea sensata; es que "conjunto" y "clase" son las mejores formalizaciones que hemos encontrado para una idea que es esencialmente absurda.

Definición de $\Omega'$ como la "colección de todas las clases" es profundamente sospechosa. La cuestión es que una clase propia no es realmente una cosa por sí misma. Podemos hablar de las clases propias como si fueran cosas, pero sólo porque es una especie de "taquigrafía" para hablar, en cambio, de las fórmulas que las definen; si permitimos que una clase propia se considere una "cosa" que podría (por ejemplo) representarse como una variable, eso nos expone de nuevo a la paradoja de Russell.

En cuanto a tu última pregunta: la propiedad que tienen las "colecciones" que no tienen los tipos formalizados de colecciones es que son intuitivas. Eso significa que tienen toda la libertad de la lengua inglesa, en particular, la pertenencia a una colección puede ser ambigua. Puedo, por ejemplo, describir la colección "todas las colecciones que no se contienen a sí mismas", dejando la pertenencia a esta colección en sí misma ambigua. Si se desarrollara la teoría de conjuntos en un entorno en el que se permitiera que la pertenencia fuera ambigua (¡lo que se ha hecho!), entonces se podría encontrar la noción de "conjunto" más cercana a la noción intuitiva de "colección".