Supongamos que $K/F$ es una extensión algebraica de campos. Demostrar que si $R$ es un anillo con $F ⊆ R ⊆ K$ entonces R también debe ser un campo.

Question

Supongamos que $K/F$ es una extensión algebraica de campos. Demostrar que si $R$ es un anillo con $F ⊆ R ⊆ K$ entonces $R$ también debe ser un campo.

¿Cómo puedo iniciar esto?

Answer 1

Dejemos que $x$ sea un elemento no nulo de $R$ . Desde $x\in K$ existe $P\in F[X]$ tal que $P(x)=0$ . Escriba $P(X)=a_0+a_1X+\cdots+a_nX^n$ . $P(x)=0$ implica que $x{{a_1+a_2x+\cdots+a_nx^{n-1}}\over{-a_0}}=1$ . Desde $R$ es un anillo que contiene $F$ , $a_i, {1\over{a_0}}\in R$ Por lo tanto ${{a_1+a_2x+\cdots+a_nx^{n-1}}\over{-a_0}}$ es un elemento de $R$ Por lo tanto $R$ es un campo ya que la inversa de los elementos no nulos de $R$ están en $R$ .