Proyectar un punto dentro de un círculo sobre su borde.

Question

¿Cuál es la forma más sencilla de encontrar el punto de intersección de una recta trazada desde el origen de una circunferencia a través de un punto dado dentro de la circunferencia por el borde de la misma? Busco el punto de intersección de la recta con el borde de la circunferencia.

¡Me rindo! ¡Cualquier ayuda es muy apreciada!

Answer 1

Si el radio es $R$ el origen es $(0,0)$ y el punto es $(x,y)$ por lo que el punto de intersección en coordenadas polares es $(R,\arctan(\frac{y}{x}))$ y puedes convertirlo fácilmente en cartesiano.

Answer 2

Si el círculo es $(x-a)^2+(y-b)^2 = r^2 $ , y el punto es $(u, v)$ , entonces la línea que pasa por $(a, b)$ y $(u, v)$ es $\dfrac{y-b}{x-a} =\dfrac{v-b}{u-a} $ .

Si este punto está en el círculo, entonces $y-b =\dfrac{(x-a)(v-b)}{u-a} $ y $(x-a)^2+(y-b)^2 = r^2 $ .

Sustituyendo la primera ecuación en la segunda, $r^2 =(x-a)^2+(\dfrac{(x-a)(v-b)}{u-a})^2 =(x-a)^2(1+(\dfrac{v-b}{u-a})^2) =(x-a)^2(\dfrac{(u-a)^2+(v-b)^2}{(u-a)^2}) $ , por lo que $(x-a)^2 =r^2\dfrac{(u-a)^2}{(u-a)^2+(v-b)^2} $ , o $x =a \pm r\dfrac{u-a}{\sqrt{(u-a)^2+(v-b)^2}} $ .

De esto, puedes obtener $y$ .

Se esperan dos valores, ya que una línea que pasa por el centro interseca el círculo en dos puntos.

Answer 3

Si se describen los puntos utilizando coordenadas polares $(\theta,r)$ Entonces esto es muy sencillo. Si el punto dado tiene un $\theta$ -coordinación de $\theta_1$ entonces la intersección tiene coordenadas $\theta=\theta_1$ y $r=$ el radio del círculo (que supongo que también está dado).

Si utiliza la norma $(x,y)$ coordenadas, se convertiría el $x,y$ del punto dado en coordenadas polares utilizando las siguientes ecuaciones: $$r=\sqrt{x^2+y^2}$$ $$\theta=arccos({x\over r})=arcsin({y\over r})$$ A continuación, encontrará las coordenadas polares para el punto de intersección de la manera que he mencionado anteriormente ( $\theta=\theta_1$ y $r=$ el radio del círculo).

Una vez que tenga las coordenadas polares, las convertiría de nuevo en $x,y$ coordenadas utilizando las siguientes ecuaciones: $$x=rcos\theta$$ $$y=rsin\theta$$

Answer 4

Entiendo que puedes trabajar en un sistema de coordenadas... Si es cartesiano sólo tienes que usar la multiplicación, la suma, la división y la raíz cuadrada.

Supongamos que el origen de coordenadas es el mismo que el centro del círculo, y que hay que encontrar $\vec{w}$ cuando $\vec{v}$ es conocido:

$$ \vec{v}=(x,y)\\ |\vec{v}|=\sqrt{x^2+y^2} $$

Vector $\vec{w}$ es paralelo a $\vec{v}$ Así que..:

$$ \vec{w}=a\vec{v}=(ax,ay) $$ para algunos $a > 1$ (porque el punto de partida es interno). El módulo de $\vec{w}$ es igual al radio $R$ : $$ R=|\vec{w}|=\sqrt{a^2(x^2 + y^2)}=a\sqrt{x^2+y^2}=a|\vec{v}| $$ lo que nos permite resolver para $a$ y finalmente calcular $\vec{w}$ : $$ a=\frac{R}{|\vec{v}|} \\ \vec{w}=\frac{R}{|\vec{v}|}\vec{v}=(\frac{Rx}{\sqrt{x^2+y^2}},\frac{Ry}{\sqrt{x^2+y^2}}) $$

También se puede pensar en términos de vector unitario:

$$ \hat{v} = \frac{1}{|\vec{v}|}\vec{v}\\ \vec{w} = R\hat{v} = \frac{R}{|\vec{v}|}\vec{v} $$