Integrando $f(x,y)=xy$ sobre el paralelogramo

Question

Quiero integrar $f(x,y)=xy$ sobre un paralelogramo con vértices $(-2,1)$ , $(-1,3)$ , $(1,3)$ , $(0,1)$ . Mi enfoque: $$\int \limits_{1}^{3}\int \limits_{\frac{1}{2}(y-5)}^{\frac{1}{2}(y-1)}xy\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y=-2$$ La solución dice que debe ser $-\frac{10}{3}$ . ¿Qué he hecho mal?

Answer 1

Podemos mover $y$ en la integral exterior: $$I=\int_1^3y\int_{(y-5)/2}^{(y-1)/2}x\,dx\,dy$$ Entonces integra la primera integral: $$=\frac12\int_1^3y[x^2]_{(y-5)/2}^{(y-1)/2}\,dy$$ $$=\frac18\int_1^3y((y-1)^2-(y-5)^2)\,dy$$ $$=\frac18\int_1^3y(8y-24)\,dy$$ $$=\int_1^3(y^2-3y)\,dy$$ El segundo sigue: $$=[y^3/3-3/2y^2]_1^3=-\frac{10}3$$