$(\forall x\in S)P(x)\equiv \forall x(x\in S\Rightarrow P(x))$ ¿Qué significa?

Question

$(\forall x\in S)P(x)\equiv \forall x(x\in S\Rightarrow P(x))\\(\exists x\in S)P(x)\equiv \exists x(x\in S\wedge P(x))$

Lo que creo que significa:

1) Para todos los $x$ en $S$ , $P(x)$ es cierto = para todo $x$ , tal que, si $x$ está en $S$ entonces $P(x)$ es cierto. ¿Significa esto que $(x\in S\Rightarrow P(x))$ es siempre verdadera, por lo tanto, si $x$ es realmente en $S$ , $P(x)$ tiene que ser verdadero, para que la expresión se evalúe como verdadera? (Porque $T \Rightarrow T \equiv T$ .)

Creo que estoy equivocado, así que si alguien puede aclarar esto...

Además, ¿qué cambiaría si en lugar del operador "implica" tuviéramos el operador "y" (como en la segunda línea)? De nuevo tendría que ser verdadero para que la expresión se evaluara como verdadera.

Answer 1

$$(\forall x\in S)P(x)\equiv \forall x(x\in S\Rightarrow P(x))$$

En primer lugar, hay que tener en cuenta que el conectivo $\equiv$ significa que si un lado de la conectiva es verdadero, también lo es el otro (y si un lado es falso, también lo es el otro). Dicho de otro modo, significa que $$(\forall x\in S)P(x)\text{ if and only if} \forall x(x\in S\Rightarrow P(x))$$

Así que sí, ambas partes declaran que para cada $x$ si $x\in S$ entonces $P(x)$ .

La implicación en el lado derecho no puede cambiarse a $\land$ porque si lo fuera, la equivalencia fallaría.

Observe la diferencia:

Para todos los números $x$ , si $x$ es un número entero, entonces $x+1$ es un número entero.

El consecuente sólo se aplica a los números enteros, y si $x$ es, digamos, una fracción (como 1/2), entonces la afirmación es vacuamente verdadera, ya que el antecedente es falso, por lo que la implicación es siempre verdadera.

Versus

Para todos los números $x$ , $x$ es un número entero y $x+1$ es un número entero. Esto es descaradamente falso para todos los $x \notin \mathbb Z$ .

Es decir, supongamos que tenemos la declaración $\forall x(x\in \mathbb Z \land x+1\in \mathbb Z)$ .

La afirmación sólo es cierta si $x \in \mathbb Z$ . Pero la afirmación anterior dice que para cada (número, objeto, triángulo, etc): Es es un número entero Y éste más el número 1 también es un número entero. Claramente, esto es absurdo.

Answer 2

Sí, la expresión $(∀x∈S)P(x)$ es el llamado restringido o cuantificador relativizado (universal), y es precisamente equivalente a :

$\forall x(x \in S \Rightarrow P(x))$ .

Si se considera que podemos utilizar un predicado $S(x)$ tal que $S(x)$ tiene si $x \in S$ entonces la última fórmula es equivalente a una fórmula de predicado "pura":

$\forall x(S(x) \Rightarrow P(x))$ .

Ahora bien, debe quedar claro que se aplican las "reglas" habituales para evaluar las fórmulas cuantificadas.

Así, la fórmula "para todos los $x$ , si $x$ está en $S$ entonces $P(x)$ "es cierto cuando todos los $x$ en $S$ también son $P$ .

Esta fórmula es la "forma lógica" del tradicional "todos los hombres son mortales", que afirma que la clase de los hombres está incluida en la clase de los "mortales".

El mismo razonamiento se aplica al existencial :

$(∃x∈S)P(x)$ .

Se puede reescribir como :

$∃x(S(x) \land P(x))$

y es verdadero precisamente cuando hay algún $x$ tal que es a la vez $S$ y $P$ .

Nota

Por qué $\forall x(x \in S \Rightarrow P(x))$ no tiene el mismo significado que $\forall x(x \in S \land P(x))$ ?

Considere de nuevo $\forall x(S(x) \Rightarrow P(x))$ que significa "todo $S$ son $P$ ".

Su negación será : "no todos $S$ son $P$ ", que podemos expresar de forma equivalente como : "hay algunos $S$ que no son $P$ " [probar con : "no todos los hombres son mortales" es lo mismo que : "hay algunos hombres que son inmortales (es decir, no mortales)"].

Considere ahora la negación de $\forall x(S(x) \Rightarrow P(x))$ es decir

$\lnot \forall x(S(x) \Rightarrow P(x))$

que es (por las reglas de los cuantificadores) :

$\exists x \lnot (S(x) \Rightarrow P(x))$ .

Pero $p \Rightarrow q$ es equivalente a : $\lnot p \lor q$ así, aplicando esta "transformación a la fórmula anterior y utilizando a De Morgan, obtenemos :

$\exists x (S(x) \land \lnot P(x))$

que se traduce bien "hay algunos $S$ que no son $P$ ". En particular, la fórmula es falso si hay no $S$ .

Consideremos ahora la supuesta traducción "alternativa" de $(∀x∈S)P(x)$ como $\forall x(x \in S \land P(x))$ .

Si consideramos el negación de la última fórmula obtenemos :

$\exists x \lnot (S(x) \land P(x))$

que es (de nuevo por De Morgan) :

$\exists x (\lnot S(x) \lor \lnot P(x))$ .

Esto no es equivalente a la traducción anterior, porque esta fórmula es verdadero si hay no $S$ .

Conclusión Si el contradictorio de las dos fórmulas no tienen el mismo "significado" las dos fórmulas no son equivalentes.