¿Cómo encontrar la ecuación de una recta normal cuando la pendiente de la tangente es igual a cero?

Question

Dado : $x^2+6x+2y-8=0$ en $x = 3$

$y = \frac{17}{2}$

$y' = 0 = m_T$

He podido encontrar la ecuación de la recta tangente que es $y=\frac{17}{2}$ utilizando la fórmula punto-pendiente sin embargo, al encontrar $m_N$ (pendiente de la línea normal), obtendría una indeterminada.

$m_T ( m_N )= -1$

$m_N = -\frac{1}{0} $

por lo tanto, me da : $y - \frac{17}{2} = -\frac{1}{0}(x-3)$

¿Cómo puedo resolver esta ecuación?

Sé que la ecuación de la recta normal es $x=3$ , la cual encontré por medio de una gráfica, sin embargo solo quería saber si puedo mostrar mi solución por medio de una ecuación.

¿No estoy infringiendo ninguna norma al hacer esto? $-0(y-\frac{17}{2})=1(x-3)$

Answer 1

HINT

La ecuación de una línea vertical es de la forma $$x=k$$

De manera más general, para evitar la forma indeterminada, observe que la ecuación de la línea en forma implícita es $ax+by=c$ y la condición para que la línea sea normal con la línea $dx+ey=f$ viene dada por

$$ad+be=0$$

Answer 2

Recordemos que la línea normal debe ser perpendicular a la línea tangente y ambas se encuentran en el punto de su curva (es decir, donde $x=3$ en este caso concreto). En esta situación, su línea tangente es horizontal y por lo tanto la línea normal debe ser una línea vertical ya que tiene que ser perpendicular a su línea tangente. Las líneas verticales tienen la forma $$x=k$$ para algunos $k$ . En su caso, la línea normal debe pasar por el punto $\left(3,\frac{17}2\right),$ por lo que tenemos la ecuación $x=3$ .

El método que usted describe arriba funciona para la mayoría de las situaciones. De hecho, funciona siempre que la línea tangente no sea vertical u horizontal. La razón por la que falla en esa situación es que la línea normal no es una función de $y$ en términos de $x$ . Como se puede ver en el gráfico, para $x=3$ su línea normal tiene infinidad de $y$ valores. Pero este será el caso siempre que su derivada en un punto sea $0$ . En ese caso, sabes que la línea normal debe ser de la forma $x=k$ por el argumento anterior.

Answer 3

Parece que hay un error de cálculo. La función es $$y=-\frac12x^2-3x+4, y(3)=-9.5.$$ La pendiente de la tangente en $x=3$ es $$m_T=y'(3)=-3-3=-6.$$ La pendiente de la normal (perpendicular a la tangente) es $$m_N=-\frac{1}{m_T}=\frac16.$$ La ecuación de la normal que pasa por $(3,-9.5)$ es $$-9.5=\frac{1}{6}\cdot 3+b \Rightarrow b=-10 \Rightarrow y_N=\frac16x-10.$$