¿Cómo podemos producir otro reloj geek con un par de números diferentes?

Question

Así que encontré esto reloj geek y creo que es bastante genial.

Me pregunto si es posible conseguir lo mismo pero con otro número.

Este es el problema:

Queremos encontrar un número $n \in \mathbb{Z}$ que se utilizará exactamente $k \in \mathbb{N}^+$ veces en cualquier expresión matemática para producir resultados en el rango $[1, 12]$ . No se permite el redondeo, pero todo lo que sea elegante está bien.

Si respondes con un ejemplo, utiliza un par por respuesta.

Sólo quiero ver ese reloj con otro par de números :)

Notas para el reloj actual :

1 o'clock: usar el 9 sólo dos veces, pero es fácil usarlo 3 veces con muchas formas diferentes. Ver comentarios.

5 en punto: debería ser $\sqrt{9}! - \frac{9}{9} = 5$

Answer 1

Para $n=-1$ y $k=8$ aquí hay una solución:

$1=\left(-1-\left(-1 \times \left(-1+\left(-1-\left(-1+\left(-1+\left(-1+-1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)$

$2=\left(-1+\left(-1+\left(-1-\left(-1+\left(-1+\left(-1+\left(-1+-1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)$

$3=\left(-1-\left(-1 \times \left(-1-\left(-1+\left(-1+\left(-1+\left(-1+-1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)$

$4=\left(-1+\left(-1-\left(-1+\left(-1+\left(-1+\left(-1+\left(-1+-1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)$

$5=\left(-1+\left(-1 \times \left(-1+\left(-1+\left(-1+\left(-1+\left(-1+-1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)$

$6=\left(-1-\left(-1+\left(-1+\left(-1+\left(-1+\left(-1+\left(-1+-1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)$

$7=\left(-1 \times \left(-1+\left(-1+\left(-1+\left(-1+\left(-1+\left(-1+-1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)$

$8=\left(-1 \times \left(-1+\left(-1-\left(\left(-1+-1\right) \times \left(-1+\left(-1+-1\right)\right)\right)\right)\right)\right)$

$9=\left(-1 \times \left(-1-\left(\left(-1+-1\right) \times \left(-1+\left(-1+\left(-1+-1\right)\right)\right)\right)\right)\right)$

$10=\left(-1 \times \left(-1-\left(\left(-1+\left(-1+-1\right)\right) \times \left(-1+\left(-1+-1\right)\right)\right)\right)\right)$

$11=\left(-1-\left(\left(-1+-1\right) \times \left(\left(-1+-1\right) \times \left(-1+\left(-1+-1\right)\right)\right)\right)\right)$

$12=\left(-1 \times \left(\left(-1+-1\right) \times \left(\left(-1+-1\right) \times \left(-1+\left(-1+-1\right)\right)\right)\right)\right)$

Answer 2

O $n=-12$ y $k=12$ aquí hay una solución:

$1=\frac{-12}{\left(-12+\left(-12+\left(-12+\left(-12+\left(-12+\left(-12-\left(-12+\left(-12+\left(-12+\left(-12+-12\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)}$

$2=\left(-12 \times \frac{-12}{\left(-12+\left(-12-\left(-12+\left(-12+\left(-12+\left(-12+\left(-12+\left(-12+\left(-12+-12\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)}\right)$

$3=\left(-12 \times \frac{-12}{\left(-12+\left(-12+\left(-12-\left(-12+\left(-12+\left(-12+\left(-12+\left(-12+\left(-12+-12\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)}\right)$

$4=\left(-12-\left(-12 \times \frac{-12}{\left(-12+\left(-12 \times \frac{-12}{\left(-12-\left(-12+\left(-12+\left(-12+\left(-12+-12\right)\right)\right)\right)\right)}\right)\right)}\right)\right)$

$5=\left(-12-\left(-12+\frac{-12}{\left(-12 \times \frac{-12}{\left(-12-\left(-12+\left(-12+\left(-12+\left(-12+\left(-12+-12\right)\right)\right)\right)\right)\right)}\right)}\right)\right)$

$6=\left(-12+\left(-12 \times \left(-12 \times \frac{-12}{\left(-12+\left(-12+\left(-12+\left(-12+\left(-12+\left(-12+\left(-12+-12\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)$

$7=\frac{-12}{\left(-12 \times \frac{-12}{\left(-12-\left(-12-\left(-12+\left(-12+\left(-12+\left(-12+\left(-12+\left(-12+-12\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)}\right)}$

$8=\left(-12-\left(-12+\left(-12+\left(-12 \times \frac{-12}{\left(-12+\left(-12-\left(-12+\left(-12+\left(-12+\left(-12+-12\right)\right)\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)$

$9=\frac{-12}{\left(-12 \times \frac{-12}{\left(-12+\left(-12+\left(-12+\left(-12+\left(-12+\left(-12+\left(-12+\left(-12+-12\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)}\right)}$

$10=\left(-12 \times \frac{-12}{\left(-12-\left(-12+\left(-12+\left(-12 \times \frac{-12}{\left(-12+\left(-12+\left(-12+\left(-12+-12\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)}\right)$

$11=\left(-12-\frac{-12}{\left(-12 \times \frac{-12}{\left(-12-\left(-12 \times \left(-12+\left(-12-\left(-12+\left(-12+\left(-12+-12\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)}\right)}\right)$

$12=\left(-12-\left(-12 \times \left(-12 \times \frac{-12}{\left(-12-\left(-12+\left(-12+\left(-12+\left(-12+\left(-12+\left(-12+-12\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)$

Answer 3

Seis. Para facilitar la lectura, escribo $n$ para la suma de $n$ 1s, así que por ejemplo me refiero a

$1 = ((1+1+1)-(1+1)) \times 1$ .

Aquí están las expresiones:

$1 = (3-2) \times 1$

$2 = 4-2$

$3 = (4-1) \times 1$

$4 = 5-1$

$5 = 5 \times 1$

$6 = 6$

$7 = (3 \times 2) + 1$

$8 = 4 \times 2$

$9 = 3 \times 3$

$10 = (3! - 1) \times 2$

$11 = (3! \times 2) - 1$

$12 = 3! \times 2 \times 1$

Cualquier número mayor de 1s es posible (basta con multiplicar estas expresiones por 1 tantas veces como sea necesario); no creo que cinco unos sean posibles.

Answer 4

Para $1$ aquí hay una solución:

$$ 1 = 1 $$

$$ 1+1 = 2 $$

$$ 1+1+1 = 3 $$

$$ 1+1+1+1 = 4 $$

$$ 1+1+1+1+1 = 5 $$

$$ 1+1+1+1+1+1 = 6 $$

$$ 1+1+1+1+1+1+1 = 7 $$

$$ 1+1+1+1+1+1+1+1 = 8 $$

$$ 1+1+1+1+1+1+1+1+1 = 9 $$

$$ 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1 = 10 $$

$$ 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1 = 11 $$

$$ 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1 = 12 $$