¿Cómo podemos producir otro reloj geek con un par de números diferentes?

Question

Así que encontré esto reloj geek y creo que es bastante genial.

Me pregunto si es posible conseguir lo mismo pero con otro número.

Este es el problema:

Queremos encontrar un número $n \in \mathbb{Z}$ que se utilizará exactamente $k \in \mathbb{N}^+$ veces en cualquier expresión matemática para producir resultados en el rango $[1, 12]$ . No se permite el redondeo, pero todo lo que sea elegante está bien.

Si respondes con un ejemplo, utiliza un par por respuesta.

Sólo quiero ver ese reloj con otro par de números :)

Notas para el reloj actual :

1 o'clock: usar el 9 sólo dos veces, pero es fácil usarlo 3 veces con muchas formas diferentes. Ver comentarios.

5 en punto: debería ser $\sqrt{9}! - \frac{9}{9} = 5$

Answer 1

Para $n=4$ y $k=5$ aquí hay una solución:

$\frac{4}{\left(4+\left(4 \times \left(4-4\right)\right)\right)}=1$

$\left(4-\left(4 \times \frac{4}{\left(4+4\right)}\right)\right)=2$

$\left(4+\frac{4}{\left(4-\left(4+4\right)\right)}\right)=3$

$\left(4+\left(4+\left(4-\left(4+4\right)\right)\right)\right)=4$

$\left(4-\frac{4}{\left(4-\left(4+4\right)\right)}\right)=5$

$\left(4+\left(4 \times \frac{4}{\left(4+4\right)}\right)\right)=6$

$\frac{4}{\left(4 \times \frac{4}{\left(4+4!\right)}\right)}=7$

$\left(4 \times \left(4 \times \frac{4}{\left(4+4\right)}\right)\right)=8$

$\left(4-\left(\frac{4}{4}-\frac{4!}{4}\right)\right)=9$

$\left(4+\frac{4}{\left(4 \times \frac{4}{4!}\right)}\right)=10$

$\frac{4}{\left(4 \times \frac{4}{44}\right)}=11$

$\left(4-\left(4-\left(4+\left(4+4\right)\right)\right)\right)=12$

Answer 2

Para $n=19$ y $k=19$ aquí hay una solución:

$1=\frac{19}{\left(19+\left(19 \times \left(19+\left(19+\left(19+\left(19+\left(19+\left(19+\left(19+\left(19-\left(19+\left(19+\left(19+\left(19+\left(19+\left(19+\left(19+19\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)}$

$2=\frac{19}{\left(19 \times \frac{19}{\left(19-\left(19+\left(19+\left(19+\left(19+\left(19+\left(19+\left(19-\left(19+\left(19+\left(19+\left(19+\left(19+\left(19+\left(19+19\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)}\right)}$

$3=\left(19-\left(19+\frac{19}{\left(19-\left(19 \times \frac{19}{\left(19+\left(19 \times \frac{19}{\left(19+\left(19+\left(19-\left(19+\left(19+\left(19+\left(19+\left(19+\left(19+19\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)}\right)\right)}\right)\right)}\right)\right)$

$4=\left(19-\frac{19}{\left(19 \times \frac{19}{\left(19+\left(19+\left(19+\left(19+\left(19+\left(19+\left(19+\left(19+\left(19+\left(19+\left(19+\left(19+\left(19+\left(19+19\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)}\right)}\right)$

$5=\left(19 \times \frac{19}{\left(19+\left(19+\left(19+\left(19+\left(19 \times \frac{19}{\left(19+\left(19+\left(19-\left(19+\left(19+\left(19+\left(19+\left(19+\left(19+\left(19+19\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)}\right)$

$6=\left(19+\left(19-\left(19+\frac{19}{\left(19 \times \frac{19}{\left(19+\left(19+\left(19+\left(19+\left(19+\left(19+\left(19+\left(19+\left(19+\left(19+\left(19+\left(19+19\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)}\right)}\right)\right)\right)$

$7=\left(19-\left(19 \times \frac{19}{\left(19-\left(19 \times \frac{19}{\left(19+\left(19 \times \left(19 \times \frac{19}{\left(19-\left(19+\left(19+\left(19+\left(19+\left(19+\left(19+\left(19+19\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)}\right)\right)}\right)\right)$

$8=\left(19+\frac{19}{\left(19 \times \frac{19}{\left(19+\left(19-\left(19+\left(19+\left(19+\left(19+\left(19+\left(19+\left(19+\left(19+\left(19+\left(19+\left(19+\left(19+19\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)}\right)}\right)$

$9=\left(19 \times \frac{19}{\left(19+\left(19-\left(19 \times \frac{19}{\left(19+\left(19-\left(19+\left(19+\left(19+\left(19+\left(19+\left(19+\left(19+\left(19+\left(19+\left(19+19\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)}\right)$

$10=\frac{19}{\left(19 \times \frac{19}{\left(19-\left(19+\left(19+\left(19-\left(19+\left(19+\left(19+\left(19+\left(19+\left(19+\left(19+\left(19+\left(19+\left(19+\left(19+19\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)}\right)}$

$11=\left(19+\frac{19}{\left(19-\left(19 \times \frac{19}{\left(19+\left(19 \times \frac{19}{\left(19-\left(19+\left(19+\left(19+\left(19+\left(19+\left(19+\left(19+\left(19+\left(19+19\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)}\right)\right)}\right)\right)}\right)$

$12=\frac{19}{\left(19 \times \frac{19}{\left(19-\left(19+\left(19-\left(19+\left(19+\left(19+\left(19+\left(19+\left(19+\left(19+\left(19+\left(19+\left(19+\left(19+\left(19+19\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)}\right)}$

Answer 3

Para $n=3$ y $k = 3$ .

$1 = 3^{3-3}$

$2 = 3-\frac{3}{3}$

$3 = 3+3-3$

$4 = 3+\frac{3}{3}$

$5 = 3!-\frac{3}{3}$

$6 = 3*3-3$

$7 = 3!+\frac{3}{3}$

$8 = \pi(3)*\pi(3)*\pi(3)$

$9 = 3+3+3$

$10 = 3!+\pi(3)+\pi(3)$

$11 = 3!+3+\pi(3)$

$12 = 3*3+3$

Answer 4

Ahora con $n = 5$ y $k = 5$ .

Con $n = 5$ y $k = 5$ (falta un $9$ por ahora, pero volveré a ello más tarde).

$\dfrac{55}{5}-5-5=1$

$\dfrac{5+5}{5}-5+5=2$

$\dfrac{5+5}{5}+\frac{5}{5}=3$

$\dfrac{5+5+5+5}{5}=4$

$5 - 5 + 5 - 5 + 5 = 5$

$5 + \dfrac{5}{5} - 5 + 5 = 6$

$5 + \dfrac{5}{5}+\dfrac{5}{5} = 7$

$5 + 5 - \dfrac{5+5}{5} = 8$

$5 + \dfrac{5(5) - 5}{5}=9$

$\dfrac{55}{5} - \dfrac{5}{5} = 10$

$\dfrac{55}{5} - 5 + 5 = 11$

$\dfrac{5+5}{5} + 5 + 5 = 12$

Gracias a tzador por $9$ .

Answer 5

Para $n=2$ y $k=12$ aquí hay una solución:

$1=\left(2 \times \left(2 \times \left(2 \times \frac{2}{\left(2+\left(2+\left(2+\left(2+\left(2+\left(2+\left(2+2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)$

$2=\left(2+\left(2 \times \left(2+\left(2+\left(2+\left(2+\left(2-\left(2+\left(2+\left(2+\left(2+2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)$

$3=\left(2 \times \left(2+\left(2 \times \frac{2}{\left(2+\left(2-\left(2+\left(2+\left(2+\left(2+\left(2+2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)$

$4=\frac{2}{\left(2 \times \left(2 \times \frac{2}{\left(2+\left(2+\left(2+\left(2+\left(2+\left(2+\left(2+2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)}\right)\right)}$

$5=\frac{2}{\left(2 \times \frac{2}{\left(2-\left(2+\left(2-\left(2+\left(2+\left(2+\left(2+\left(2+2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)}\right)}$

$6=\left(2-\frac{2}{\left(2 \times \frac{2}{\left(2+\left(2-\left(2+\left(2+\left(2+\left(2+\left(2+2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)}\right)}\right)$

$7=\frac{2}{\left(2 \times \frac{2}{\left(2-\left(2-\left(2+\left(2+\left(2+\left(2+\left(2+\left(2+2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)}\right)}$

$8=\left(2-\left(2+\left(2+\left(2+\left(2-\left(2+\left(2+\left(2+\left(2+\left(2+\left(2+2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)$

$9=\frac{2}{\left(2 \times \frac{2}{\left(2+\left(2+\left(2+\left(2+\left(2+\left(2+\left(2+\left(2+2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)}\right)}$

$10=\left(2+\frac{2}{\left(2 \times \frac{2}{\left(2+\left(2+\left(2+\left(2+\left(2+\left(2+\left(2+2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)}\right)}\right)$

$11=\left(2+\left(2+\frac{2}{\left(2 \times \frac{2}{\left(2+\left(2+\left(2+\left(2+\left(2+\left(2+2\right)\right)\right)\right)\right)\right)}\right)}\right)\right)$

$12=\left(2-\left(2+\left(2+\left(2-\left(2+\left(2+\left(2+\left(2+\left(2+\left(2+\left(2+2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)$