¿Cómo podemos producir otro reloj geek con un par de números diferentes?

Question

Así que encontré esto reloj geek y creo que es bastante genial.

Me pregunto si es posible conseguir lo mismo pero con otro número.

Este es el problema:

Queremos encontrar un número $n \in \mathbb{Z}$ que se utilizará exactamente $k \in \mathbb{N}^+$ veces en cualquier expresión matemática para producir resultados en el rango $[1, 12]$ . No se permite el redondeo, pero todo lo que sea elegante está bien.

Si respondes con un ejemplo, utiliza un par por respuesta.

Sólo quiero ver ese reloj con otro par de números :)

Notas para el reloj actual :

1 o'clock: usar el 9 sólo dos veces, pero es fácil usarlo 3 veces con muchas formas diferentes. Ver comentarios.

5 en punto: debería ser $\sqrt{9}! - \frac{9}{9} = 5$

Answer 1

Para $n=12$ y $k=12$ aquí hay una solución:

$1=\frac{12}{12+12+12+12+12+12-(12+12+12+12+12)}$

$2=\left(12 \times \frac{12}{12-12+12-12+12+12+12+12+12+12}\right)$

$3=\left(12 \times \frac{12}{\left(12-\left(12+\left(12+\left(12-\left(12+\left(12+\left(12+\left(12+\left(12+12\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)}\right)$

$4=\left(12-\frac{12}{\left(12 \times \frac{12}{\left(12+\left(12+\left(12+\left(12+\left(12+\left(12+\left(12+12\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)}\right)}\right)$

$5=\left(12 \times \frac{12}{\left(12 \times \left(12 \times \frac{12}{\left(12-\left(12-\left(12+\left(12+\left(12+\left(12+12\right)\right)\right)\right)\right)\right)}\right)\right)}\right)$

$6=\left(12+\frac{12}{\left(12 \times \frac{12}{\left(12-\left(12+\left(12+\left(12+\left(12+\left(12+\left(12+12\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)}\right)}\right)$

$7=\frac{12}{\left(12 \times \frac{12}{\left(12-\left(12-\left(12+\left(12+\left(12+\left(12+\left(12+\left(12+12\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)}\right)}$

$8=\left(12+\left(12 \times \frac{12}{\left(12+\left(12+\left(12-\left(12+\left(12+\left(12+\left(12+\left(12+12\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)}\right)\right)$

$9=\frac{12}{\left(12 \times \frac{12}{\left(12+\left(12+\left(12+\left(12+\left(12+\left(12+\left(12+\left(12+12\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)}\right)}$

$10=\left(12 \times \frac{12}{\left(12-\left(12 \times \frac{12}{\left(12-\left(12+\left(12+\left(12+\left(12+\left(12+12\right)\right)\right)\right)\right)\right)}\right)\right)}\right)$

$11=\left(12+\frac{12}{\left(12-\left(12 \times \left(12 \times \frac{12}{\left(12+\left(12+\left(12+\left(12+\left(12+12\right)\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)}\right)$

$12=\left(12+\left(12+\left(12-\left(12 \times \left(12 \times \frac{12}{\left(12+\left(12+\left(12+\left(12+\left(12+12\right)\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)$

Answer 2

Hacer números de 4 cuatros es un problema común: $$1=\frac {44}{44}$$ $$2=\frac {4\cdot 4}{4+4}$$ $$3=\frac{4+4+4}{4}$$ $$4=\frac{4-4}{4}+4$$ $$5=\sqrt{4!+\frac{\sqrt 4+\sqrt 4} 4}$$ $$6=\sqrt{\frac{4!\cdot 4-4!}{\sqrt 4}}$$ $$7=\sqrt{4!\sqrt 4+\frac 4 4}$$ $$8=\sqrt{\frac{4^4}{\sqrt4+\sqrt 4}}$$ $$9=(4-\frac 4 4)^{\sqrt 4}$$ $$10=\frac{4!} 4 - (4-\sqrt 4)$$ $$11=\frac{4!}{\sqrt 4}-\frac 4 4$$ $$12=\sqrt{\frac{4!4!}{\sqrt 4+\sqrt 4}}$$

Debería aclarar qué operaciones quiere. Si permites cualquier tipo de función de redondeo, factoriales y logaritmos, casi seguro que puedes hacerlo con uno de cualquier número (aunque las expresiones resultantes pueden no caber en un reloj).

Answer 3

Solución para n = 1, k = 12:

$$ 1 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1 = 1 $$

$$ 1 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1+1 = 2 $$

$$ 1 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1+1+1 = 3 $$

$$ 1 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1+1+1+1 = 4 $$

$$ 1 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1+1+1+1+1 = 5 $$

$$ 1 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1+1+1+1+1+1 = 6 $$

$$ 1 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1+1+1+1+1+1+1 = 7 $$

$$ 1 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1+1+1+1+1+1+1+1 = 8 $$

$$ 1 \times 1 \times 1 \times 1+1+1+1+1+1+1+1+1 = 9 $$

$$ 1 \times 1 \times 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1 = 10 $$

$$ 1 \times 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1 = 11 $$

$$ 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1 = 12 $$

Answer 4

Parece que $2$ lo haría:

$$ 1: 2^2 - 2 - 2/2 $$

$$ 2:2^2 - 2^2 + 2 $$

$$ 3: 2 + 22/22 $$

$$ 4: 2^{2^2}/2^2 $$

$$ 5: 2^2 - 2/2 + 2 $$

$$ 6: 2^2 + 2 - 2 + 2 $$

$$ 7:2^2 + 2 + 2/2 $$

$$ 8:2^{2}(2) + 2 - 2 $$

$$ 9:2^2(2) + 2/2 $$

$$ 10:22/2 - 2/2 $$

$$ 11 : (2^2)!/2 - 2/2 $$

$$ 12: 2^{2^2} - 2^2 $$

Con eso debería bastar. Gracias a Phira por $10$ y $11$ y Peter para $3$ .

Answer 5

Para $n=9$ y $k=9$ aquí hay una solución:

$1=\left(9+\frac{9}{\left(9 \times \frac{9}{\left(9+\left(9+\left(9-99\right)\right)\right)}\right)}\right)$

$2=\frac{9}{\left(9+\frac{9}{\left(9-\frac{9}{\left(9 \times \frac{9}{99}\right)}\right)}\right)}$

$3=\left(9-\left(9+\left(9-\frac{9}{\left(9 \times \frac{9}{\left(9+99\right)}\right)}\right)\right)\right)$

$4=\left(9-\frac{9}{\left(9 \times \frac{9}{\left(9+\left(9+\left(9+\left(9+9\right)\right)\right)\right)}\right)}\right)$

$5=\left(9+\left(9-\frac{9}{\left(9 \times \frac{9}{\left(9+\left(9+99\right)\right)}\right)}\right)\right)$

$6=\left(9+\frac{9}{\left(9-\frac{9}{\left(9 \times \frac{9}{\left(9+99\right)}\right)}\right)}\right)$

$7=\left(9+\left(9+\frac{9}{\left(9 \times \frac{9}{\left(9-\left(9+99\right)\right)}\right)}\right)\right)$

$8=\left(9+\left(9 \times \frac{9}{\left(9+\left(9+\left(9-\left(9+99\right)\right)\right)\right)}\right)\right)$

$9=\left(9 \times \left(9 \times \frac{9}{\left(9-\left(9+\left(9+\left(9-99\right)\right)\right)\right)}\right)\right)$

$10=\left(9-\left(9 \times \frac{9}{\left(9+\left(9+\left(9-\left(9+99\right)\right)\right)\right)}\right)\right)$

$11=\frac{9}{\left(9 \times \frac{9}{\left(9-\left(9+\left(9-\left(9+99\right)\right)\right)\right)}\right)}$

$12=\left(9-\frac{9}{\left(9-\frac{9}{\left(9 \times \frac{9}{\left(9+99\right)}\right)}\right)}\right)$