Demostrar que la derivada existe

Question

Tengo una pregunta sobre el siguiente ejercicio.

Dejemos que $f(x)= \begin{cases} x^n \mbox{ for } x \geq 0\\ 0 \mbox{ for } x<0 \end{cases}$

Demuestre que las derivadas iteradas $f^{(1)}$ a través de $f^{(n-1)}$ existen en todos los números reales x, pero la derivada n-ésima iterada en 0 no.

He podido demostrar que la derivada n-ésima iterada a 0 no existe: a la derecha de 0, su valor es n! y a la izquierda de 0, su valor es 0.

Como la derivada a la izquierda y a la derecha de 0 es diferente, la n-ésima derivada iterada es por tanto no diferenciable en 0.

Pero, ¿alguien puede mostrarme cómo demostrar que las primeras a las n-1 derivadas existen?

Gracias

Answer 1

Usted haría algo muy parecido. El $k$ la derivada vendría dada por $$f^{(k)}(x) = \begin{cases} (n)_kx^{n-k} \mbox{ for } x > 0\\ 0 \mbox{ for } x<0 \end{cases}$$ donde $(n)_k = n(n-1)\cdots (n-k+1)$ es el factorial descendente. No hay problemas de $0$ pero como $x\rightarrow 0$ de la izquierda y de la derecha, ¿coinciden los límites?

Answer 2

Considere el cociente $$\frac{f^{(n-1)}(h+0)-f^{(n-1)}(0)}{h}.$$

• ¿Y si $h\to0$ desde abajo (es decir $h<0$ )?
• ¿Y si $h\to0$ desde arriba (es decir $h>0$ )?

Si lo desea, puede empezar con $n=1$ .

Editar Para $n=1$ deberíamos mirar $$\frac{f^{(0)}(h+0)-f^{(0)}(0)}{h}=\frac{f(h)-f(0)}{h},\tag{1}$$ con $$f(x)=\begin{cases} x \text{ for } x \geq 0\\ 0 \text{ for } x<0 \end{cases}\tag{2}$$ Ahora, sustituye (2) en (1). ¿Qué ocurre cuando $h\to0$ para $h<0$ y lo que sucede cuando $h\to0$ para $h>0$ ?

Ahora ve por $n=2$ , $n=3$ etc. hasta que vea y pueda explicar el panorama general.