Función monótona en $\mathbb{R}$

Question

Es un hecho bien conocido, que si $f:X \to \mathbb{R}$ (donde $X \subset \mathbb{R}$ ) es monótona, y $a \in X^+, b\in X^-$ , donde $$X^+ = \left\{ {x\in X:\forall \varepsilon > 0,\;\;\left( {x - \varepsilon ,x} \right) \cap X \ne \varnothing} \right\}$$ $$X^- = \left\{ {x\in X:\forall \varepsilon > 0,\;\;\left( {x,x + \varepsilon } \right) \cap X \ne \varnothing} \right\},$$ entonces $$\lim_{x \to a^+} f\left( x \right),\qquad\lim_{x \to b^-} f\left( x \right)$$ existe. Mi pregunta es, dada dicha función, y un punto $a \in X^+$ ¿existe un $\varepsilon > 0$ tal que $$ f\left| {_{\left( {x - \varepsilon ,x} \right) \cap X} } \right. $$ es continua (no tiene saltos). Quiero saber si este hecho es cierto, para demostrar que el conjunto de discontinuidades de una función monótona es contable (porque en este caso, a cada punto de este tipo, le asocio un conjunto abierto, y por tanto un número racional).

El único contraejemplo posible es una función que tenga un conjunto denso de saltos. Por favor, no me des pruebas sobre la otra prueba, sólo sé esto, porque conozco otras pruebas sin utilizar este hecho, pero creo que esto también es cierto.

Answer 1

Creo que tienen sus definiciones de $X^+$ y $X^-$ al revés: según su definición, si $X=[0,1]$ entonces $1\in X^+$ pero $\lim\limits_{x\to 1^+} f(x)$ no tiene sentido, por lo que no puede existir.

Su pregunta tiene una respuesta negativa.

Dejemos que $\{q_n\}$ sea una enumeración de los racionales en $[0,1]$ eso es, $q_n$ es un racional en $[0,1]$ para cada $n$ y para cada racional $q$ en $[0,1]$ existe uno y sólo uno $n$ tal que $q=q_n$ .

Definir $f\colon [0,1]\to \mathbb{R}$ por $$f(x)= \sum_{q_n\gt x}\frac{1}{2^n}.$$ Entonces $f(x)$ es monótona: si $x\leq y$ entonces $\{n\in\mathbb{N}\mid q_n\gt y\}\subseteq \{n\in\mathbb{N}\mid q_n\gt x\}$ Así que $f(x)\geq f(y)$ .

Además, $f$ es discontinua por la izquierda en todo número racional: si $q\in (0,1]\cap\mathbb{Q}$ existe $n$ tal que $q=q_n$ . Sea $\epsilon=\frac{1}{2^{n+1}}$ . Entonces, para cada $x\in(0,q)$ , $f(x)-f(q) \geq \frac{1}{2^n}\gt \epsilon$ Así que $f$ no es continua por la izquierda en $q$ .

En particular, para cada $x$ , $1\geq x\gt 0$ y cada $\epsilon\gt 0$ , $f$ no es continua en $(\max(x-\epsilon,0),x)$ .

La función es continua por la derecha en todo racional, pero también es cierto que para todo $x$ , $ 0\leq x\lt 1$ y para cada $\epsilon\gt 0$ , $f$ no es continua en $(x,\min(x+\epsilon,1))$ .

Tenga en cuenta que en este caso, $X^+$ y $X^-$ son $[0,1)$ y $(0,1]$ (en algún orden, dependiendo de las definiciones correctas de $X^+$ y $X^-$ ).

Answer 2

Propuesta 1. Una función monótona $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ sólo puede tener discontinuidades de salto.

Corolario 2. Una función monótona $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tiene a lo sumo un número contable de discontinuidades.

Propuesta 3. Para cualquier contable $A \subset \mathbb{R}$ existe una función acotada creciente $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tal que $f$ es continua precisamente en $\mathbb{R}\setminus A$ .

Sólo la última afirmación es moderadamente difícil de probar.