Evaluando el límite relacionados con factorial $\lim_{x \to \infty} (x + 1)!^{1 / (x + 1)} - x!^{1/x}$

Question

Estoy buscando el límite

$$\lim_{x \to \infty} \left[[(x+1)!]^\frac{1}{1+x} - (x!)^\frac{1}{x}\right].$$

He puesto lo anterior en un programa de computadora y evaluados en valores muy altos de $x$ ($x = 100\text{ }000$, es aproximadamente el $0.367881$). El valor parece ser ceder a $1/e$, $0.3678794412\ldots$

Tiene sentido, como $e$ tiene una extensión relacionados con el factorial. Sin embargo estoy atrapado intentando averiguar una prueba si hay alguna. Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Por la aproximación de Stirling, tenemos $$x! \approx \sqrt{2 \pi x} \left(\frac{x}{e}\right)^x,$ $ así que para la gran $n$ $$(x!)^{1 / x} \approx (2 \pi)^{1 / 2x} x^{1 / x} \frac{x}{e}.$ $Thus, $$[(x + 1)!]^{1 / (x + 1)} - (x!)^{1 / x} \approx (2 \pi)^{1 / 2(x + 1)} (x + 1)^{1 / (x + 1)} \frac{(x + 1)}{e} - (2 \pi)^{1 / 2x} x^{1 / x} \frac{x}{e}.$ $Now, $(2 \pi)^{1 / 2x} x^{1 / x} \to 1$ $x \to \infty$, así que tenemos que $$[(x + 1)!]^{1 / (x + 1)} - (x!)^{1 / x} \approx \frac{x + 1}{e} - \frac{x}{e} = \frac{1}{e}.$ $

Aproximación de Stirling tiene error $O\left(\frac{1}{x}\right)$ (y de hecho es muy bueno incluso para modestamente pequeño $x$), y por lo tanto, podemos traducir las anteriores aproximaciones asintóticas para probar rigurosamente el límite deseado $$\lim_{n \to \infty} \left[ [(x + 1)!]^{1 / (x + 1)} - (x!)^{1 / x} \right] = \frac{1}{e}.$ $

Answer 2

Si $x$ es un número entero, se puede utilizar la fórmula de Sterling

$$x! \approx. \sqrt{2\pi x} \left(\frac{x}{e}\right)^x$$

Por lo tanto,

$$((x+1)!)^{1/(x+1)}\approx. (\sqrt{2\pi (x+1)})^{1/(x+1)}\left(\frac{x+1}{e}\right)$$

y

$$(x!)^{1/x}\approx. (\sqrt{2\pi x})^{1/x}\left(\frac{x}{e}\right)$$

El plazo $\sqrt{2\pi x}^{1/x}$ $\sqrt{2\pi (x+1)}^{1/(x+1)}$ puede ser fácilmente demostrado que el enfoque de $1$$x \to \infty$. Por lo tanto,

$$((x+1)!)^{1/(x+1)}-(x!)^{1/x}\approx. \frac{x+1}{e}-\frac{x}{e} = 1/e$$

como $x\to \infty$

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A un lado, no necesitamos suponer que $x$ es un número entero. De hecho, la función Gamma ofrece una ampliación de los factorial para valores complejos. Utilizando el gran argumento de expansión asintótica de la función Gamma con real positivo argumentos, tenemos

$$x!=\Gamma(x+1)=\sqrt{2\pi x}\left(\frac{x}{e}\right)^x \left(1+O\left(\frac{1}{x}\right)\right)$$

El análisis procede de forma idéntica y el resultado de los post no se ve afectada (es decir, el límite de la función de este post es $1/e$).

Answer 3

DeMoivre fórmula, tenemos $$x! \sim C \sqrt{x}\left(\dfrac{x}e\right)^x + \mathcal{O}(1/x)$ $ Esto significa que tenemos\begin{align} ((x+1)!)^{1/(x+1)} - (x!)^{1/x} & \sim C^{1/(x+1)} \sqrt{x}^{1/(x+1)} \left(\dfrac{x+1}e \right) - C^{1/x} \sqrt{x}^{1/x} \left(\dfrac{x}e\right) + \mathcal{O}(1/x)\\ & \sim \dfrac{x+1-x}e = \dfrac1e \end {Alinee el}