Demostrar la siguiente fórmula del determinante

Question

Necesito demostrar lo siguiente

$$ \begin{bmatrix} 1+ x_1y_1 & x_1y_2 & \cdots & x_1y_n \\ x_2y_1 & 1+ x_2y_2 & \cdots & x_2y_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_ny_1 & x_ny_2 & \cdots & 1+x_ny_n \\ \end{bmatrix} = 1 + \sum_{i=1}^n{x_iy_i} $$

¿alguien puede indicarme el primer movimiento?

Answer 1

Su matriz puede escribirse como $I+xy^T$ donde $I$ es la matriz de identidad y $x=(x_1,\dots,x_n)^T, y=(y_1,\dots,y_n)^T$ . A continuación, aplique aquí .

Answer 2

La matriz $$ A= \begin{bmatrix} x_1y_1 & x_1y_2 & \cdots & x_1y_n \\ x_2y_1 & x_2y_2 & \cdots & x_2y_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_ny_1 & x_ny_2 & \cdots & x_ny_n \\ \end{bmatrix} $$ puede escribirse como $$ A=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{bmatrix} \begin{bmatrix}y_1 & y_2 & \dots & y_n\end{bmatrix} $$ por lo que tiene rango $1$ . También tiene el valor propio $\lambda=x_1y_1+\dots+x_ny_n$ por lo que su polinomio característico es $$ p_A(X)=(0-X)^{n-1}(\lambda-X) $$ El determinante de $A+I$ es por lo tanto $$ p_A(-1)=\lambda+1=1+\sum_{1\le i\le n}x_iy_i. $$

Answer 3

En esta respuesta se demuestra que si $A$ es un $n\times m$ matriz y $B$ es un $m\times n$ matriz, entonces $$ \lambda^m\det(\lambda I_n-AB)=\lambda^n\det(\lambda I_m-BA) $$ Configurar $\lambda=-1$ da $$ \det(I_n+AB)=\det(I_m+BA) $$ Configurar $A=\left[\begin{array}{c}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{array}\right]$ and $B=\left[\begin{array}{c}y_1&y_2&\dots&y_n\end{array}\right]$ da su resultado.

Answer 4

Sugerencia: Sólo tiene que utilizar la inducción, y utilizar la expansión del cofactor a lo largo de la última fila, junto con las operaciones elementales de la fila