Probabilidad de que la proporción de un segmento más corto con respecto al más largo sea menor que $\dfrac{1}{4}$

Question

El problema es el siguiente.

Elegimos al azar un punto en una línea de segmento de longitud L.

¿Cuál es la probabilidad de que el cociente del segmento más corto con respecto al más largo sea menor que $\dfrac{1}{4}?$

Hice dos intentos.

La primera fue decir que sea X una variable aleatoria tal que para cada punto p $$X(p)=\dfrac{p}{L-p}.$$ Pero no hay ninguna razón para decir que cualquier punto tiene más probabilidad de ser elegido que otro punto diferente, por lo que podemos decir que X es una variable aleatoria uniformemente distribuida.

Así que tenemos $$p_X\left(\dfrac{1}{4}\right)=P\left(X<\dfrac{1}{4}\right)=\int_0^{\frac{1}{4}}\dfrac{1}{L}dt=\dfrac{1}{4L}.$$ PERO creo que este no es el enfoque correcto, así que hice un segundo intento.

SEGUNDO INTENTO.

Queremos que $$\dfrac{p}{L-p}<\dfrac{1}{4}$$ así que con un poco de álgebra obtenemos que $$p<\dfrac{L}{5}.$$

Ahora lo hacemos $$\int_0^{\frac{L}{5}}\dfrac{1}{L}=\dfrac{1}{5}.$$

Pero también esto no me satisface.

¿Puedes echarme una mano/consejo por favor?

Answer 1

Quizá pensar en términos de porcentajes o decimales sea más intuitivo. Si la longitud es $L$ y el punto está en $p$ y $p$ es menor que $L-p$ , entonces queremos $\frac{p}{L-p}<.25$ o $p<0.2L$ . Y si $p>L-p$ entonces queremos $\frac{L-p}{p}<.25$ o $p>0.8L$

Si p se distribuye uniformemente en L, la probabilidad de que sea menor que $0.2L$ o mayor que $0.8L$ es $0.4$ o $\frac{2}{5}$ como se indica en los comentarios anteriores.