Evaluación de la integralidad $ \int\frac{1}{(2+3\sin x)^2}dx$

Question

Evaluación de la integralidad $\displaystyle \int\frac{1}{(2+3\sin x)^2}dx$

$\bf{My\; Try::}$ Utilizar la integración por partes,

Dejemos que $$\displaystyle I=\int\frac{1}{(2+3\sin x)^2}dx = \int \frac{1}{\cos x}\cdot \frac{\cos x}{(2+3\sin x)^2}dx$$

$$\displaystyle I = -\frac{1}{3 \cos x}\cdot \frac{1}{(2+3\sin x)}+\frac{1}{3}\int \frac{\sin x}{\cos^2 x}\cdot \frac{1}{(2+3\sin x)}dx$$

Ahora dejemos $$\displaystyle J=\int \cdot \frac{\sin x}{(2+3\sin x)}\cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \int \frac{\sin x}{(2+3\sin x)}\cdot \sec^2 xdx$$

de nuevo Uso de las piezas de integración

$$\displaystyle J = \frac{\sin x}{(2+3\sin x)}\cdot \tan x - \int \frac{d}{dx}\left\{\frac{\sin x}{(2+3\sin x)}\right\}\cdot \tan xdx$$

Así que $$\displaystyle J = \frac{\sin x}{(2+3\sin x)}\cdot \tan x-2\int\frac{\sin x}{(2+3\sin x)^2}dx$$

$$\displaystyle J = \frac{\sin x}{(2+3\sin x)}\cdot \tan x-\frac{2}{3}\int \frac{[(2\sin x+3)-3]}{(2\sin x+3)^2}dx$$

Así que $$\displaystyle J = \frac{\sin x}{(2+3\sin x)}\cdot \tan x- \frac{2}{3}\int\frac{1}{(2\sin x+3)}dx+4I$$

Ahora dejemos $$\displaystyle K = \int\frac{1}{2\sin x+3}dx = \int\frac{2\sin x-3}{4\sin^2 x-9}dx = -2\int\frac{\sin x}{5+4\cos^2 x}dx+3\int\frac{\sec^2 x}{5\tan^2 x+9}dx$$

Mi pregunta es si podemos resolverlo sin usar la integración por partes

Si es así, explique aquí

gracias

Answer 1

Una pista: Dejemos que $~I(b)=\displaystyle\int\frac{dx}{a\sin x+b},~$ y resolverlo utilizando el Sustitución de Weierstrass . Entonces, fíjate

que su integral original no es más que $-I'(b)$ .

Answer 2

Si se fija $x=2\arctan\theta$ terminas con..: $$\frac{1}{2}\int\frac{1+\theta^2}{(1+3\theta+\theta^2)^2}\,d\theta$$ que puede calcularse mediante una simple descomposición de fracciones.

Answer 3

Sí, aplica la sustitución de Weierstrass $x = 2 \arctan t$ , lo que da

$${\int \dfrac{1}{\left(2 + 3 \cdot \frac{2t}{1 + t^2}\right)^2} \cdot \dfrac{2\,dt}{1 + t^2} = \frac{1}{2}\int \dfrac{(1 + t^2) \,dt}{(t^2 + 3t + 1)^2}}$$ .