Resolver para $y$ en $\frac{dy}{dx}-\frac{3y}{2x+1}=3x^2$

Question

Vi un problema de desafío en las redes sociales por un amigo, resolver para $y$ en $$\frac{dy}{dx}-\frac{3y}{2x+1}=3x^2$$ Creo que esto es un factor de integración ODE $$\frac{1}{{(2x+1)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{dy}{dx}-\frac{3y}{{(2x+1)}^{\frac{5}{2}}}=\frac{3x^2}{{(2x+1)}^{\frac{3}{2}}}$$ ¿Es esto correcto? $$\left(\frac{y}{{(2x+1)}^{\frac{3}{2}}} \right)'=\frac{3x^2}{{(2x+1)}^{\frac{3}{2}}}$$ $$\left(\frac{y}{{(2x+1)}^{\frac{3}{2}}} \right)=\int \frac{3x^2}{{(2x+1)}^{\frac{3}{2}}} \mathop{dx}$$

Answer 1

sugerencia

Para la última integral, ponga $$2x+1=u^2$$ $$x=\frac{u^2-1}{2}$$ $$dx=udu$$ $$3x^2=\frac 34(u^4+1-2u^2)$$

se convierte en $$\frac 34\int \frac{u^4-2u^2+1}{u^3}udu$$

Answer 2

$$\frac{dy}{dx} -\frac{3}{2x + 1}y = 3x^2$$ Para un factor integrador tenemos $$\frac{dy}{dx} + Py = Q, \quad I = \exp(\int P \; dx)$$ entonces $$Iy = \int IQ\;dx$$

Para nuestro método $$I = \exp(\int -\frac{3}{2x + 1} \; dx) = \exp(-\frac{3}{2}ln(2x + 1)) = (2x + 1)^{-\frac{3}{2}}$$

así que $$y = (2x + 1)^\frac{3}{2} \int \frac{3x^2}{(2x + 1)^{\frac{3}{2}}} \; dx= C_1(2x + 1)^\frac{3}{2} + (2x + 1)(x^2 - 2x -2)$$ ya que la integral da $$\frac{x^2 - 2x - 2}{(2x + 1)^\frac{1}{2}}$$

Answer 3

Sí, parece correcto. Ahora

• aplicar la división polinómica para reducir el grado del numerador, y tratar de encontrar las integrales de los términos que aparecen,
• o utilizar la integración parcial para reducir el grado de la $3x^2$ en el integrando.

Answer 4

Como la EDO es lineal $$(2x+1)y'-3y=3x^2(2x+1)$$

Podemos proceder sin factor de integración resolviendo primero la ecuación homogénea:

$\dfrac{y'}{y}=\dfrac{3}{2x+1}\ $ da $\ y=C\,(2x+1)^{3/2}$

Y luego encontrar un polinomio de grado $3$ satisfaciendo a RHS:

$(2x+1)(3ax^2+2bx+c)-3(ax^3+bx^2+cx+d)=3x^2(2x+1)\iff\begin{cases}3a-6=0\\3a+b-3=0\\2b-c=0\\c-3d=0\end{cases}$

Lo que da $$p(x)=2x^3-3x^2-6x-2=(2x+1)(x^2-2x-2)$$

Finalmente $$y=(2x+1)(C\sqrt{\vphantom{|}2x+1}+x^2-2x-2)$$

Answer 5

Esta EDO es lineal. Consideremos la homogénea

$$ y_h' -3\frac{y_h}{2x+1}=0 $$

Esta EDO es separable con solución

$$ y_h = C_0(2x+1)^{\frac 32} $$ asumiendo ahora para el particular $y_p = C_0(x)(2x+1)^{\frac 32}$ tras la sustitución en la EDO completa obtenemos

$$ C_0'(x) = \frac{3x^2}{(2x+1)^{\frac 32}} $$

así

$$ C_0(x) = \frac{x^2-2x-2}{\sqrt{2x+1}} $$

y finalmente

$$ y = y_h + y_p = \left(C_0+\frac{x^2-2x-2}{\sqrt{2x+1}}\right)(2x+1)^{\frac 32} $$