Límite inferior de la función de recuento de primas.

Question

Supongamos que $t \geq n \geq 4$ y $\tau=\lceil tn\ln(tn) \rceil$ . Entonces sé que el para el número de primos $\leq \tau$ , $\pi(\tau)$ sostiene que $$ \pi(\tau) \geq \dfrac{\tau}{\ln \tau} $$ Entonces tengo que demostrar que $$ \dfrac{\tau}{\ln \tau} \geq \dfrac{tn e}{e+1} $$ ¿Cómo lo hago?

Sé que \begin{align*} \tau &= \lceil tn\ln(tn) \rceil \geq tn\ln(tn) \geq tn \ln(4^2) \geq tn e\\ \ln\tau &= \ln\lceil tn\ln(tn) \rceil \geq \ln\lceil 4^2\ln(4^2) \rceil = 4 \geq e+1 \end{align*} Sin embargo, no estoy seguro de cómo puedo utilizarlo.

Answer 1

Considere la función $f(x)=\frac {x}{\ln x}$ . Se puede demostrar fácilmente que, $f'(x)>0$ para $x>e$ . Ahora dejemos que $x= tn$ . Entonces tenemos, ya que $\tau>x\ln x$ y $\tau, x\ln x\geq 16>e$ , $f(\tau)>f(x\ln x)$ . Ahora, procediendo a través de esto, basta con mostrar: $$\frac {x\ln x}{\ln(x\ln x)}\geq \frac {xe}{e+1}$$ Cancelación de $x$ y la multiplicación cruzada (puede hacerse como $x\geq 16$ ): $$\ln x (1+\frac {1}{e})\geq \ln(x\ln x)$$ Tomando el antilog, esto se reduce a: $$x^{\frac 1e}\geq \ln x$$ Ahora verifique que para $x=16$ se cumple la desigualdad, y como $x^{\frac 1e}-\ln x$ es una función creciente para $x>e^e$ La desigualdad también es válida para los valores posteriores.

Dado que este último resultado es verdadero, se deduce que la desigualdad inicial también lo es, ya que cada paso se puede retroceder hasta el último.

Answer 2

Dejemos que $u=tn$ de los cuales sabemos $u\ge 16$ .

Entonces $\tau\ge u\ln u$ pero también $\tau< u\ln u+1=c u\ln u$ , donde $c$ es un número sólo ligeramente superior a $1$ . Entonces $\ln(\tau)< \ln u+\ln\ln u+\ln c$ , así que $$\frac\tau{\ln \tau}>\frac{u\ln u}{\ln u+\ln\ln u+\ln c}.$$ Por lo tanto, basta con demostrar que $$\frac{\ln u}{\ln u+\ln\ln u+\ln c}\stackrel?>\frac e{e+1} $$ o, de forma equivalente, tras tomar los recíprocos y restar $1$ $$ \frac{\ln\ln u+\ln c}{\ln u}\stackrel?<\frac {1}e$$ Así que probablemente quieras encontrar un destino para $\frac {\ln x}x$ cuando $x=\ln u \ge\ln 16$ y también una comprobación de que $c$ no es realmente mucho mayor que $1$ es decir, $\ln c$ realmente no es mucho más grave que $0$ . ¿Puedes llevarlo desde aquí?