La transformada de Fourier de funciones con soporte compacto es diferenciable.

Question

1) ¿Cómo puedo demostrar que si $f(x)$ es una función continua con soporte compacto (digamos $f(x)=0$ $\forall x\in B(0,R)^c$ ), entonces su transformada de Fourier $\hat{f}(\xi)$ ¿es diferenciable?

2) ¿Hay algún contraejemplo que $\hat{f}(\xi)$ es diferenciable si $f\in C^0 (\mathbb{R})$ (sin tener necesariamente un soporte compacto)?

Gracias.

Answer 1

Si $f\in C_c(\Bbb R)$ entonces se puede demostrar que $\hat f$ es diferenciable por definición y por el teorema de convergencia dominante.

Si queremos construir $f\in C(\Bbb R)$ tal que $\hat f$ no es diferenciable, podemos utilizar el hecho de que para funciones pares $f = \hat{\hat f}$ (hasta una constante multiplicativa). Ahora toma, por ejemplo, $\hat f = \mathbf 1_{[-1,1]}(x)$ . Esta función no es diferenciable en $\Bbb R$ . Su transformada de Fourier $\hat{\hat f}$ (y por tanto la inversa de Fourier $f$ ) es continua (fácil de comprobar por definición).

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Supongamos que $supp (f)\subset [-R,R]$ y $\sup_{x\in[-R,R]} |f(x)|=M$ . $$\frac{\hat f(\xi+h)-\hat f(\xi)}{h} -\int_{-R}^Rixf(x) \exp(ix\xi) dx =\int_{-R}^Rf(x) \exp(ix\xi)\left(\frac{\exp(ixh)-1}{h}-ix\right)dx.$$

El factor $\frac{\exp(ixh)-1}{h}-ix$ converge uniformemente a cero en $[-R,R]$ como $h\to 0$ Por lo tanto

$$\left|\frac{\hat f(\xi+h)-\hat f(\xi)}{h} -\int_{-R}^Rixf(x) \exp(ix\xi) dx\right| \le \left|\int_{-R}^Rf(x) \exp(ix\xi)\left(\frac{\exp(ixh)-1}{h}-ix\right)dx \right|$$ $$\le 2RM\sup_{x\in[-R,R]}\left |\frac{\exp(ixh)-1}{h}-ix\right| \to 0\mbox { as } h\to 0.$$

Answer 2

Si $f$ es continua y tiene soporte compacto entonces $xf$ y $f$ están en $L^1$ . Entonces $x\mapsto f(y)e^{-ixy}$ es diferenciable para cada $y\in\mathbb R$ y $|\frac{\partial}{\partial x} f(y)e^{-ixy}| = |-iyf(y)e^{-ixy}| \leq |yf(y)|\in L^1$ .

Ahora tenemos un teorema que afirma que $x\mapsto \hat f(x) = \int f(y)e^{-ixy}dy$ es diferenciable en este caso con la derivada $\frac{d}{dx}f(x) = \int \frac{\partial}{\partial x}f(y)e^{-ixy}dy = -i (yf)^\hat{}$ .

Si se considera el teorema de plancherel, entonces el ejemplo de TZakreveskiy funciona bien, por supuesto.

Sin embargo, si quiere $f\in L^1(\mathbb R)\cap C^0(\mathbb R)$ con $\hat f\not\in C^1(\mathbb R)$ Considera que $f = \mathbb 1_{[-1,1]}\ast 1_{[-1,1]}$ . Entonces $\hat f(x) = \frac{\sin^2(x)}{x^2}$ hasta alguna constante. $\hat f$ está en $L^1\cap C^0$ pero $\hat{\hat f}$ no es diferenciable como se puede comprobar fácilmente.