Probar la congruencia de los ángulos mediante círculos y triángulos

Question

La imagen anterior es de una elipse con focos G y F . AC y BD son tangentes a la elipse en los dos extremos del eje mayor y CD es tangente a la elipse en E . Hay dos círculos, el círculo I y el círculo J . $\angle CFD=\angle DGC=90^{\circ}$ .

Me pidieron que demostrara que $\angle ACF=\angle DCG$ y $\angle CDF=\angle BDG$ .

Esto es lo que sé: $\angle EDH=\angle EGH$ porque se cruzan en el mismo arco. $\angle ECH=\angle EFH$ porque se cruzan en el mismo arco. $\angle DBG$ y $\angle CAF$ son ángulos rectos porque son tangentes de un punto en el extremo de un eje.
Si puedo demostrar que $\angle CFA=\angle GDC$ Puedo demostrar que $\angle ACF=\angle DCG$ porque serían partes congruentes de triángulos semejantes. Si puedo demostrar que $\angle EFH=\angle FCA$ Puedo demostrar que $ACF=DCG$ . Pero estoy atascado en este punto. ¿Alguna idea de cómo proceder?

Answer 1

$DGFC$ es cíclico. Así que $$\angle CDF = \angle CGF = \angle BDG$$

También $$\angle DCG = \angle DFG = \angle ACF$$

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De ello se desprende que $HG$ , $HF$ , $HE$ son bisectrices de ángulos y H es el incentro de $\triangle EGF$ .

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Explicación :

• $D, G, F, C$ se encuentran en un círculo ya que $\angle DGC=90=\angle DFC$ subtendido por el acorde $DC$ . Así, $DGFC$ es cíclico. $DC$ es el diámetro.
• $\angle CDF=\angle CGF$ - ángulos subtendidos por la cuerda $CF$ de semicírculo $DGFC$ .
• $\angle BDG + \angle BGD=90$ También $\angle BGD + \angle CGF=90$ $\Rightarrow \angle BDG=\angle CGF$
• $\angle CDF=\angle EDH=\angle EGH=\angle CGF \Rightarrow HG$ es la bisectriz del ángulo de $\angle EGF$ .

¿Puede completar esto ahora?