Tiempo esperado hasta un intervalo dado entre eventos del proceso de Poisson

Question

El sistema que intento modelar es el siguiente:

• Un programa lleva tiempo $T$ para correr
• El ordenador se bloquea de media cada $\text{MTBF}$ unidades de tiempo
• El programa se ejecuta repetidamente hasta que se completa sin un fallo
• ¿Cuál es el plazo de ejecución previsto?

Intenté calcular esto calculando cuántas veces se espera que el programa falle antes de completarse:

Si los fallos se modelan mediante un proceso de Poisson de tasa $\frac{1}{\text{MTBF}}$ entonces la probabilidad de que no se produzca ningún fallo durante el programa es $e^{-\frac{T}{\text{MTBF}}}$

Por lo tanto, el número de fallos hasta el éxito se modela mediante una distribución geométrica y, por lo tanto, el número esperado de fallos es $e^{\frac{T}{\text{MTBF}}}-1$ (por el resultado estándar de que la expectativa $=\frac{1-p}{p}$ )

Por lo tanto, el tiempo de finalización viene dado por $(e^{\frac{T}{\text{MTBF}}}-1)*t+T$ donde $t$ es la duración esperada de cada ejecución fallida. Pero no estoy seguro de cómo calcular este valor $t$ ? ¿Será simplemente el tiempo esperado entre eventos en el proceso de Poisson condicionado a que este tiempo sea $<T$ ?

¿Existe una forma más directa de calcular este tiempo previsto hasta que se produzca un vacío $T$ entre dos eventos del proceso de Poisson?

Answer 1

Dejemos que $X$ denotan el momento del primer choque y $C$ el tiempo de finalización, por lo que $X$ se distribuye exponencialmente con el parámetro $a=1/\textrm{MTBF}$ y $C=T$ si $X>T$ mientras que $C=X+C'$ si $X<T$ , donde $C'$ se distribuye como $C$ e independiente de $X$ . Así, $$E(C)=E(T\mathbf 1_{X>T})+E((X+C')\mathbf 1_{X<T})=TP(X>T)+E(X\mathbf 1_{X<T})+E(C)P(X<T)$$ lo que implica que el tiempo esperado hasta la finalización $E(C)$ es $$E(C)=\frac{TP(X>T)+E(X\mathbf 1_{X<T})}{P(X>T)}=T+\frac{E(X\mathbf 1_{X<T})}{P(X>T)}$$ Ahora, $P(X>T)=e^{-aT}$ y $$E(X\mathbf 1_{X<T})=\int_0^Tx\,ae^{-ax}dx=\left[-(x+a^{-1})e^{-ax}\right]_0^T=a^{-1}-(T+a^{-1})e^{-aT}$$ que da como resultado $$E(C)=\frac{e^{aT}-1}a$$ es decir, $$E(C)=\textrm{MTBF}\cdot(e^{T/\textrm{MTBF}}-1)$$

Answer 2

t es la duración prevista de cada ejecución fallida

Ya tiene el valor de t Lo dices en el punto 2 de tu premisa.

El ordenador se bloquea de media cada unidades de tiempo MTBF

La duración esperada de cada ejecución fallida es igual al tiempo (en promedio) que se ejecuta antes de fallar. Por lo tanto, t \= MTBF .

¿Será simplemente el tiempo esperado entre eventos en el proceso de Poisson condicionado a que este tiempo sea menor que T?

No.

En su distribución de Poisson, utiliza λ \= T / MTBF (una tasa de tiempo).

El número esperado de choques durante el tiempo T por lo tanto es T / MTBF .

En un principio estuve tentado de calcular el "índice de inter-choque" de 1 / λ (es decir MTBF / T ) pero esto no se aplica en su caso.

Como se vuelve a iniciar el proceso después de una caída, se "reinicia" el temporizador en el proceso de Veneno.