Densidad conjunta de dos vectores de variables aleatorias normales multivariantes

Question

Si $\bf{X}$ y $\bf{Y}$ son variables aleatorias normales multivariantes dependientes, ¿cuál es la densidad conjunta de $\bf{X}$ y $\bf{Y}$ ? ¿Es también normal multivariante?

Answer 1

Como ya se ha señalado en los comentarios: En general, no es cierto que $X$ y $Y$ tienen una distribución normal multivariante conjunta. He aquí un contraejemplo: Sea $X \sim \mathcal{N}(0,1)$ y $Y$ independiente de $X$ con $P(Y=1) =1/2$ y $P(Y=-1)=1/2$ . Ahora, establezca $Z=XY$ .

• Demuestra que $Z$ tiene también una distribución normal con media $0$ y la varianza $1$ es decir $Z \sim \mathcal{N}(0,1)$ .
• $X$ y $Z$ no están correlacionados.
• $X$ y $Z$ no son independientes. (Por ejemplo $P( |X| \le t, |Z| >t) =0$ pero $P(|X| \le t) P(|Z|>t) \ne 0$ para $t>0$ .)