Derivada de la integral doble con respecto a los límites simétricos

Question

¿Cómo puedo encontrar lo siguiente?

$$\frac{d}{dx} \int_{-x}^x \int_{-x}^x f(y,z) \;dy\; dz$$

Gracias.

Answer 1

Por el Teorema Fundamental del Cálculo, la derivada es $$\int_{-x}^x f(y,x)\,dy-(-1)\int_{-(-x)}^{-x} f(y,-x)\,dy.$$ Si hacemos el cambio de variable $t=-x$ en la segunda integral, obtenemos $$\int_{-t}^{t} (-1)f(y,t)\,dy.$$ Esto anula la primera integral.