Uso del lema de Fatou para demostrar el teorema de convergencia monótona

Question

Teorema de convergencia monótona- Si $\{f_n\}$ es una secuencia en $L^{+}$ tal que $f_j\leq f_{j+1}$ para todos $j$ y $f = \lim_{n\rightarrow \infty}f_n(=\sup_{n}f_n)$ entonces $\int f = \lim_{n\rightarrow\infty}\int f_n$

Lemma de Fatou - Si $\{f_n\}$ es cualquier secuencia en $L^{+}$ entonces $$\int f = \int(\lim\inf f_n)\leq \lim\inf\int f_n$$

Dejemos que $\{f_n\}_{n\in\mathbb{N}}\subset L^{+}$ entonces, por el lema de Fatou $$\int f = \int (\lim_{n\rightarrow \infty} f_n) \leq \lim_{n\rightarrow \infty}\inf\int f_n$$ sabemos que $f = \lim_{n\rightarrow \infty}f_n (=\sup_{n}f_n)$ y que $f_n\leq f$ por lo que $\int f_n \leq \int f$ para todos $n\in \mathbb{N}$ Por lo tanto, está claro que $\lim_{n\rightarrow \infty}\sup\int f_n \leq \int f$ . Por lo tanto, $$\lim_{n\rightarrow \infty}\sup\int f_n\leq \int f = \int \lim_{n\rightarrow \infty}\inf f_n \leq \lim_{n\rightarrow \infty}\inf\int f_n = \lim_{n\rightarrow \infty}\int f_n$$ Así que.., $\int f = \lim_{n\rightarrow \infty}\int f_n$

Sólo quiero asegurarme de que esto es correcto, cualquier sugerencia es muy apreciada.

Answer 1

Sí, su solución es correcta. Sólo necesita un pequeño ajuste en cuanto a los índices, para que quede más claro.

Teorema de convergencia monótona- Si $\{f_n\}$ es una secuencia en $L^{+}$ tal que $f_j\leq f_{j+1}$ para todos $j$ y $f = \lim_{n\rightarrow \infty}f_n(=\sup_{n}f_n)$ entonces $\int f = \lim_{n\rightarrow\infty}\int f_n$

Lemma de Fatou - Si $\{f_n\}$ es cualquier secuencia en $L^{+}$ entonces $$\int f = \int(\lim\inf f_n)\leq \lim\inf\int f_n$$

Dejemos que $\{f_n\}_{n\in\mathbb{N}}\subset L^{+}$ entonces, por el lema de Fatou $$\int f = \int (\lim_{n\rightarrow \infty} f_n) \leq \lim_{n\rightarrow \infty}\inf_{k\geq n}\int f_k$$ sabemos que $f = \lim_{n\rightarrow \infty}f_n (=\sup_{n}f_n)$ y que $f_n\leq f$ por lo que $\int f_n \leq \int f$ para todos $n\in \mathbb{N}$ . Así que $\sup_{k\geq n}\int f_k \leq \int f$ para todos $n\in \mathbb{N}$ . Entonces está claro que $\lim_{n\rightarrow \infty}\sup_{k\geq n}\int f_k \leq \int f$ . Por lo tanto, $$\limsup_n\int f_n=\lim_{n\rightarrow \infty}\sup_{k\geq n}\int f_k\leq \int f = \int \liminf_n f_n \leq \lim_{n\rightarrow \infty}\inf_{k\geq n}\int f_k = \liminf_n\int f_n \tag {1}$$ Ya que, también sabemos que $$\liminf_n\int f_n \leq \limsup_n\int f_n$$ Desde $(1)$ obtenemos $$ \int f = \liminf_n\int f_n = \limsup_n\int f_n$$ lo que significa, $\int f = \lim_{n\rightarrow \infty}\int f_n$