Dejemos que $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ sea una función continua no negativa tal que $f(0) = f(1)$ . Demuestre que para cada $0<r<1$ existe $x,y\in[0,1]$ tal que $|x-y| = r$ y $f(x) = f(y)$ .
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Joel
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Se parte de la función continua $f\colon [0,1]\to \mathbb{R}$ satisfaciendo $f(0) = f(1)$ . Gracias a esta última condición, se puede ampliar a un $1$ -periódica continua en $\mathbb{R}$ .
Desde $f$ es continua, por el teorema de Weierstrass existe $x_0, x_1\in [0,1]$ tal que $$ (1)\qquad f(x_0) = \min_{x\in [0,1]} f(x), \qquad f(x_1) = \max_{x\in [0,1]} f(x). $$
Consideremos la función continua $$ g(x) := f(x+r) - f(x), \qquad x\in\mathbb{R}. $$ Por (1) tenemos que $$ g(x_0) = f(x_0+r) - f(x_0) \geq 0, \qquad g(x_1) = f(x_1+r) - f(x_1) \leq 0, $$ por lo que existe $c$ en el intervalo $[x_0, x_1]$ (o $[x_1, x_0]$ dependiendo de la posición relativa de $x_0$ y $x_1$ ) tal que $g(c) = 0$ . La conclusión que se desprende ahora es la de elegir $x = c$ y $y = c+r$ .
