Consecuencia del Teorema Chino del Resto

Question

La siguiente prueba proviene de la obra de J.P. May notas en línea sobre los anillos Dedekind. La pregunta es la siguiente.

Dejemos que $I$ sea un ideal no nulo de un dominio Dedekind $R$ . Demostrar que existe un ideal $J$ tal que $IJ$ es principal.

La prueba que se da allí es la siguiente: Sea $I=P_i^{r_i}\cdots P_n^{r_n}$ , donde $P_i$ son ideales máximos distintos y $r_i>0$ . Por el teorema chino del resto, tenemos que $R/I$ es el producto del $R/P_i^{r_i}$ . Lo entiendo hasta este punto.

No entiendo cómo la CRT implica que si $b_i\in R-P_i^{r_i+1}$ entonces existe un $a\in R$ tal que $a-b_i\in P_i^{r_i+1}$ para todos $i$ .

Conozco el Teorema Chino del Resto como se da en la Proposición 1.10 de Atiyah-Macdonald.

Answer 1

Para mí es difícil entender el punto de vista de May en esta prueba.

Define un ideal fraccionario (de un dominio integral $R$ con el campo de las fracciones $K$ ) como un $R$ -submódulo $J$ de $K$ para el que existe un elemento no nulo $d\in R$ tal que $dJ\subseteq R$ . Además, $J$ se llama invertible si $JJ^{-1}=R$ , donde $J^{-1}=\{x\in K:xJ\subseteq R\}$ . $R$ es un Dominio Dedekind si todo ideal no nulo de $R$ es invertible.

Ahora dejemos que $I$ sea un ideal no nulo en un dominio Dedekind $R$ . Tenemos $II^{-1}=R$ . Al elegir $d\in I$ , $d\neq 0$ tenemos $dI^{-1}\subseteq R$ . Obviamente $I(dI^{-1})=dR$ y el ajuste $J=dI^{-1}$ encontramos un ideal $J$ de $R$ tal que $IJ$ es principal.