[2] $\Rightarrow$ [1]. Es fácil comprobar que cada subconjunto discreto $D’$ de un espacio perfecto $P$ no es denso en ninguna parte $P$ . Supongamos ahora que $D$ es una unión contable de subconjuntos discretos de $X$ y $D$ contiene un subconjunto perfecto no vacío $P$ de $X$ . Por el teorema 4.3.11 de [Eng], $P$ es completamente metrizable. Por el teorema 2.4 de [Eng], $P$ es un espacio de Baire, por lo que no puede ser una unión contable de sus subconjuntos discretos.
[1] $\Rightarrow$ [2]. Busqué un poco en Google y encontré los artículos [Sto] y [Kou]. En el comienzo del artículo [Kou] está escrito lo siguiente: "Un teorema clásico de Suslin afirma que todo subconjunto analítico de un espacio polaco (métrico completo separable) es contable o contiene una copia del conjunto de Cantor. Una generalización al caso no separable ha sido obtenida por El'kin [1]: todo espacio absolutamente analítico (es decir, homeomorfo a un Subconjunto Suslin de algún espacio métrico completo) es $\sigma$ -discreto, o contiene una copia del conjunto de Cantor. Este teorema había sido demostrado previamente por Stone [Sto] para espacios absolutamente borelianos".
En cuanto a las generalizaciones descriptivas para los espacios polacos, recuerdo que el libro [Kech] contiene los teoremas de los conjuntos perfectos para los conjuntos de Borel (13.6) (por Alexandrov y Hausdorff), analíticos (14.13) (por Souslin), coanalíticos (32.2) y proyectivos (38.17) (por Davis): cada uno de estos subconjuntos de un espacio polaco es contable o bien contiene una copia del conjunto de Cantor.
Parece que estos resultados pueden generalizarse trivialmente a los espacios metrizables localmente separables (por [Eng, Ex. 4.4.F.C] cada uno de estos espacios es una suma disjunta de espacios separables) y a $\sigma$ -subconjuntos discretos en lugar de contables.
Observo que si abandonamos las condiciones descriptivas del conjunto $D$ (como Borelness) entonces [1] no implica [2]. Sea $D$ sea un subconjunto de Bernstein (véase [Cic]) de la recta real $\mathbb R$ (para la no separabilidad podemos tomar como $X$ una suma disjunta de incontables copias de $\mathbb R$ ). Cada subconjunto discreto de un espacio hereditariamente separable (en particular, de un segundo espacio contable) es contable. Por tanto, cada unión contable de subconjuntos discretos de $\mathbb R$ es contable. Pero si $D$ fueran contables, entonces $\mathbb R\setminus D$ será un espacio completamente metrizable como un espacio no vacío $G_\delta$ subconjunto de un espacio completamente metrizable por el Teorema 4.3.23 de [Eng]. Por tanto, $\mathbb R\setminus D$ contendrá una copia $C$ de un conjunto de Cantor, [Cic] una contradicción.
Referencias
[Cic] Jacek Cichoń. Sobre los conjuntos Bernstein .
[Ryszard Engelking, Topología general 2ª edición, Heldermann, Berlín, 1989.
[R. C. Haworth, R. C. McCoy, Espacios de Baire , Varsovia, Panstwowe Wydawnictwo Naukowe, 1977.
[Kech] Alexander S. Kechris. Teoría descriptiva clásica de conjuntos , Springer, 1995.
[Kou] George Koumoullis. Conjuntos de Cantor en espacios de Prokhorov .
[A. H. Stone. Construcciones de núcleos y conjuntos de Borel .
