Las desigualdades que describen la región en coordenadas esféricas son $$ 0 \le \rho \le 2 ,\quad 0 \le \rho \sin\phi \le 1 ,\quad 0 \le \phi \le \pi/2 ,\quad 0 \le \theta \le 2\pi . $$ Cuando estás haciendo el $\rho$ integral primera (más interna), lo que se llama el "orden habitual", se reescriben las desigualdades para $\rho$ y $\phi$ como $$ 0 \le \rho \le \min(2,1/\sin\phi) ,\qquad 0 \le \phi \le \pi/2 , $$ y establecer los límites de las integrales en consecuencia (divididos en casos dependiendo de si $1/\sin\phi$ es menor o mayor que 2), como en tu comentario anterior: $$ \int_{\phi=0}^{\pi/6} \int_{\rho=0}^2 + \int_{\phi=\pi/6}^{\pi/2} \int_{\rho=0}^{1/\sin\phi} . $$
Para hacer el $\phi$ integral en su lugar, escriba las desigualdades para $\rho$ y $\phi$ como $$ 0 \le \rho \le 2 ,\quad 0 \le \sin\phi \le 1/\rho ,\quad 0 \le \phi \le \pi/2 . $$ Aquí se divide en casos dependiendo de si $1/\rho$ es menor o mayor que 1 (ya que $\sin \phi \le 1$ automáticamente, lo que hace que la desigualdad del medio quede inactiva si $1/\rho>1$ ). Así: $$ \int_{\rho=0}^1 \int_{\phi=0}^{\pi/2} + \int_{\rho=1}^2 \int_{\phi=0}^{\arcsin(1/\rho)} . $$ Geométricamente, cuando estás haciendo el $\phi$ integral primero, está integrando sobre un arco circular en el espacio (con un radio fijo $\rho$ y una longitud fija $\theta$ ), a partir del $z$ eje, y parando cuando se golpea el $xy$ plano o cuando golpee el cilindro (lo que ocurra primero, y esto depende del valor de $\rho$ ).