Establecer la integral triple en coordenadas esféricas en un orden diferente

Question

Sea D la región limitada abajo por el plano $z=0$ , arriba por la esfera $x^2+y^2+z^2 = 4$ y en los laterales por el cilindro $x^2+y^2 = 1$ Establece la integral triple en coordenadas esféricas que da el volumen de D utilizando el siguiente orden de integración: $\mathrm{d\phi d\rho d\theta}$

Soy capaz de establecer la integral fácilmente para el orden normal de integración en coordenadas esféricas pero me encuentro con muchos problemas para establecer la integral para el orden dado.

Así que, ¿alguien podría ayudar con esto?

He probado con la gama de $\phi$ como $[0,\pi/6]$ y luego $[\pi/6,\pi/2]$ , $\theta$ variará obviamente de 0 a $2\pi$ pero no soy capaz de decidir los límites de $\rho$ en cualquier caso.

Answer 1

Las desigualdades que describen la región en coordenadas esféricas son $$0 \le \rho \le 2 ,\quad 0 \le \rho \sin\phi \le 1 ,\quad 0 \le \phi \le \pi/2 ,\quad 0 \le \theta \le 2\pi .$$ Cuando estás haciendo el $\rho$ integral primera (más interna), lo que se llama el "orden habitual", se reescriben las desigualdades para $\rho$ y $\phi$ como $$0 \le \rho \le \min(2,1/\sin\phi) ,\qquad 0 \le \phi \le \pi/2 ,$$ y establecer los límites de las integrales en consecuencia (divididos en casos dependiendo de si $1/\sin\phi$ es menor o mayor que 2), como en tu comentario anterior: $$\int_{\phi=0}^{\pi/6} \int_{\rho=0}^2 + \int_{\phi=\pi/6}^{\pi/2} \int_{\rho=0}^{1/\sin\phi} .$$

Para hacer el $\phi$ integral en su lugar, escriba las desigualdades para $\rho$ y $\phi$ como $$0 \le \rho \le 2 ,\quad 0 \le \sin\phi \le 1/\rho ,\quad 0 \le \phi \le \pi/2 .$$ Aquí se divide en casos dependiendo de si $1/\rho$ es menor o mayor que 1 (ya que $\sin \phi \le 1$ automáticamente, lo que hace que la desigualdad del medio quede inactiva si $1/\rho>1$ ). Así: $$\int_{\rho=0}^1 \int_{\phi=0}^{\pi/2} + \int_{\rho=1}^2 \int_{\phi=0}^{\arcsin(1/\rho)} .$$ Geométricamente, cuando estás haciendo el $\phi$ integral primero, está integrando sobre un arco circular en el espacio (con un radio fijo $\rho$ y una longitud fija $\theta$ ), a partir del $z$ eje, y parando cuando se golpea el $xy$ plano o cuando golpee el cilindro (lo que ocurra primero, y esto depende del valor de $\rho$ ).