Curva cúbica irreductible en forma normal

Question

Me han dado una curva cúbica $F : X^3 - XZ^2 + YZ^2 = 0$ en el plano proyectivo. Tengo que un punto singular de la curva es $[0,1,0]$ . Me piden que encuentre un cambio de variable que ponga $F$ en "forma normal", es decir $Y^2Z - G(X,Z)$ donde $G(X,Z) = X^3 + bX^2Z + cXZ^2 + dZ^3$ para $b,c,d \in \mathbb{C}$ .

Llevo un buen rato intentando conseguirlo y no consigo que el cambio sea correcto. Parece que estoy atascado con los dos $Z^2$ términos en $F$ .

Tengo un método pero que depende de que el punto sea un flexo, lo que claramente no es el caso aquí. Mis notas indican que es común ir con "suposiciones"... ¿Hay algún método mejor que pueda usar o es sólo cuestión de práctica (y si es así, alguien conoce algún buen recurso o fuente de problemas para esto)? Muchas gracias.

Answer 1

Existe un "algoritmo" para transformar las curvas cúbicas a la forma (larga) de Weierstrass, y de ésta a la forma corta de Weierstrass, que suele introducirse al estudiar las curvas elípticas. Se puede encontrar en sus diversas formas aquí o aquí . Pero eso implica mucho trabajo tedioso.

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Así es como yo lo resolvería manualmente: Normalmente es útil derivar la transformación paso a paso:

En primer lugar, hay que tener en cuenta que $X^3 -XZ^2+YZ^2 = X^3 - (X-Y)Z^2$ . Observando los grados podemos ver fácilmente que cualquier variable de la combinación lineal que sustituyamos $X$ con aparecerán como términos de tercer grado, y de forma similar lo que introduzcamos en $Z$ aparecerán sólo como términos de segundo grado. Esto sugiere que $Z$ será nuestro futuro $Y$ Así que apliquemos $Z \mapsto Y$ y $Y \mapsto Z$ . Obtenemos

$$X^3 - (X-Z)Y^2$$

Así que ahora queremos deshacernos del $X$ como coeficiente de $Y^2$ como el término con $Y^2$ no debe incluir un factor $X$ . Podemos hacerlo sustituyendo $Z$ con $X+Z$ por lo que se obtiene

$$Y^2Z + X^3$$

Ahora ya casi hemos llegado, tenemos que cambiar el signo del $X^3$ que, afortunadamente, tiene un grado impar, por lo que podemos sustituirlo por $X$ por $-X$ y obtener

$$Y^2Z -X^3$$

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Lo importante es comprobar si nuestra transformación lineal compuesta es realmente invertible. Si escribimos la sustitución como una ecuación vectorial matricial

$$\begin{bmatrix} X \\ Y \\ Z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} * & * & * \\ * & * & * \\ * & * & * \end{bmatrix}\begin{bmatrix} X' \\ Y' \\ Z' \end{bmatrix}$$

esto equivale a que esta matriz sea invertible. Si usted recuerda de álgebra lineal: El módulo del determinante no cambia si intercambiamos filas, o sumamos el múltiplo de una fila a otra. Esto corresponde a intercambiar variables y sustituir una variable por sí misma más un múltiplo de otra. Y esto es todo lo que hemos hecho arriba, así que se trata de una transformación invertible. Alternativamente, también puede ir a través de cada paso y determinar realmente esta matriz de transformación.

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