Bien, entonces queremos algo como $\operatorname{supp} u \subseteq \cap_{N=1}^\infty \cup_{n=N}^\infty \operatorname{supp} u_n$ . Aquí vamos:
$(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge débilmente a $u$ y lo mismo ocurre con toda secuencia restringida $(u_n)_{n \geq N}$ . $A_N = \{ f \in L^2; \operatorname{supp} f \subseteq \cup_{n=N}^\infty \operatorname{supp}u_n\}$ es un subespacio cerrado de $L^2$ y cerrado implica débilmente cerrado. Por lo tanto, $u$ necesita estar en $A_N$ para cada $N$ . En particular,
$$ \operatorname{supp} u \subseteq \cap_{N=1}^\infty \cup_{n=N}^\infty \operatorname{supp} u_n.$$
Edición: Un esbozo de por qué creo que la afirmación será errónea si sustituimos el lim sup por el lim inf:
Considere $L^2[0,1]$ y que las funciones $f_{k,n}$ se define por $$ f_{k,m} = 1_{\big [ \frac{k}{m},\frac{k+1}{m}\big ]}$$ para $m \in \mathbb{N}$ y $k\in \mathbb{N}, 0 \leq k < m$ . Enuméralos de alguna manera como $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ . Entonces $f_n \to 0$ en la norma, por lo que $f_n \to 0$ débilmente. Considere $$ u_n = 1 - f_n.$$ Entonces $u_n \to 1$ débilmente. Pero por otro lado, para cada $x \in [0,1]$ hay infinitos $n \in \mathbb{N}$ tal que existe un intervalo abierto $I(n)$ que contiene $x$ y $\operatorname{supp} u_n \cap I(n) = \emptyset$ . Por lo tanto, $\lim \inf \operatorname{supp} u_n = \emptyset$ y $\operatorname{supp} u = [0,1]$ .
