Afirmaciones equivalentes sobre un espacio métrico (homeomorfismo, continuidad, puntos de cluster, conjuntos cerrados y compactos)

Question

El problema. Dejemos que $M$ un espacio métrico con métrica $d$ . Demuestre que las siguientes condiciones son equivalentes.

(a) $M$ es homeomorfo a $M$ con métrica discreta.

(b) Toda función $f:M \to M$ es continua

(c) Toda biyección $g: M \to M$ es un homeomorfismo

(d) $M$ no tiene puntos de agrupación

(e) Todo subconjunto de $M$ está cerrado

(f) Todo subconjunto compacto de $M$ es finito

• [(a) $\Longrightarrow$ (b)] Dado $\epsilon > 0$ tomar $\delta < 1$ Así que.., $d_{M}(x,y) < 1$ implica $x = y$ y así, $d(f(x),f(y)) = 0 < \epsilon$ .

• [(b) $\Longrightarrow$ (c)] $g: M \to M$ es continua y, como $g^{-1}:M \to M$ también es una biyección, $g^{-1}$ es continua.

• [(d) $\Longrightarrow$ (e)] Sea $S$ sea un subconjunto de $M$ . Desde $M$ no tiene puntos de agrupación, $S$ está cerrado. Además, si $p \in S$ podemos tomar la pelota $B_{r}(p)$ con $r$ pequeño tal que $B_{r}(p) \cap S = \{p\}$ . Entonces $S$ también está abierto.

• [(f) $\Longrightarrow$ (a)] Si la métrica no es discreta, tome $p$ un punto de agrupación de $M$ . Así, para cada $n \in \mathbb{N}$ , teniendo en cuenta $B_{1/n}(p)$ obtenemos una secuencia convergente, es decir, $p_{n} \to p$ . Pero, toda secuencia convergente está acotada y toda subsecuencia converge a $p$ Por lo tanto, $\{p_{n}\}_{n}\cup \{p\}$ es compacto, una contradicción.

¿Hay algún error?

Para (c) $\Longrightarrow$ (d) y (e) $\Longrightarrow$ (f) No tengo ni idea.

¿Puede alguien ayudarme?

Answer 1

No es un error pero es más fácil: (d), $M$ no tiene puntos de agrupación, puede traducirse como

$$\forall x \in M: \exists r_x >0: B(x,r_x) = \{x\}\tag{1}$$

que dice que todos los conjuntos de un solo dígito son abiertos, por lo que todos los conjuntos son abiertos. Por lo tanto, $(e)$ .

$(e) \implies (f)$ es fácil: sabemos que todos los monotonos son abiertos, por lo que un conjunto compacto puede ser cubierto disjuntamente por sus monotonos. Sólo hay una subcubierta (la propia cubierta, ya que no podemos omitir una) y si es finita también lo es el conjunto compacto.

$(f) \implies (a)$ su argumento muestra que todas las secuencias convergentes en $M$ son eventualmente constantes (o la secuencia con su límite es un subconjunto compacto infinito). Esto implica la condición $(1)$ por encima de los argumentos estándar, y por lo tanto también $(a)$ .

Para $(c) \implies (d)$ Supongamos que $M$ tiene un punto de agrupación $p$ . Entonces, mediante argumentos estándar, podemos encontrar una secuencia $x_n \to p$ donde todos $x_n \neq p$ . Sea $g$ sea cualquier biyección que sea la identidad, salvo que intercambiemos $p$ y, digamos, $x_1$ . Entonces el hecho de que $g$ es un homeomorfismo implicaría que $x_n \to x_1$ también, lo que es imposible por la unicidad de los límites.