Puntos singulares de una matriz cuando las entradas están restringidas a un Grupo de Lie

Question

Dejemos que $\mathsf{SO}(3)$ sea el conjunto de $3 \times 3$ matrices de rotación. Sea $R\in\mathsf{SO}(3)$ y $r_{ij}$ representan la entrada de $R$ sentado en el $i^{th}$ fila y $j^{th}$ columna, es decir, $$ R \in\ \mathsf{SO}(3) =\left(\begin{array}{ccc} r_{11} & r_{12} & r_{13}\\ r_{21} & r_{22} & r_{23} \\ r_{31} & r_{32} & r_{33} \end{array}\right). $$ Para la matriz $D$ que se indica a continuación $$ D =\left(\begin{array}{ccc} -r_{22}-r_{33} & r_{21} & r_{31}\\ r_{12} & -r_{11}-r_{33} & r_{32} \\ r_{13} & r_{23} & -r_{11}-r_{22} \end{array}\right), $$ Quiero encontrar lo siguiente:

1. Encuentra el conjunto de todos los puntos para los que $D$ ¿pierde el rango? En otras palabras, quiero encontrar todos los valores de $r_{ij}\in\mathbb{R}$ para $i,j=\{ 1,2,3\}$ tal que la matriz $D$ se convierte en singular. Aunque cada $r_{ij}$ toman valores sólo en un subconjunto cerrado $ [-1,1]\subset \mathbb{R}$ (sujeto a más condiciones), pero aquí asumimos que pueden tomar cualquier valor en $\mathbb{R}$ sólo para simplificar las cosas. Desde $r_{ij}$ puede tomar cualquier valor en $\mathbb{R}$ Denoto este conjunto singular por $S_{\mathbb{R}} = \{ r_{ij}\in\mathbb{R}: det(D) = 0\}$ . Al menos una forma (quizás ingenua) es calcular una expresión del determinante de $D$ que en este caso sería una expresión no lineal de $9$ y encontrar sus raíces. Sin embargo, esta es una tarea no trivial porque el determiante de $D$ es $$ det(D) = r_{11}r_{12}r_{21} - r_{11}^{2} r_{22} - r_{11}r_{33}^{2} - r_{11}^{2}r_{33} - r_{22}r_{33}^{2} - r_{22}^{2}r_{33} - r_{11}r_{22}^{2} + r_{11}r_{13}r_{31} + r_{12}r_{21}r_{22} - 2 r_{11}r_{22}r_{33} + r_{12}r_{23}r_{31} + r_{13}r_{21}r_{32} + r_{13}r_{31}r_{33} + r_{22}r_{23}r_{32} + r_{23}r_{32}r_{33}. $$ ¿Cómo encontrar las raíces de esta ecuación? O, ¿hay una mejor manera de abordar este problema?

2. Encuentra todos los valores de $r_{ij}$ para $i,j=\{ 1,2,3\}$ de manera que cuando cada $r_{ij}$ es la entrada de una matriz de rotación $R \in \mathsf{SO}(3)$ la matriz $D$ pierde el rango. Creo que este segundo problema es aún más desafiante, ya que requiere encontrar condiciones bajo las cuales $D$ pierde el rango con la condición de que el problema esté restringido a un grupo de Lie. De nuevo, mi pregunta es ¿cómo se puede resolver? ¿Qué herramientas se necesitan para estudiar este tipo de problemas?

¡¡¡Muchas gracias, sobre todo si has leído hasta el final!!! :)

Answer 1

Ok, escribiendo mi último comentario creo que veo una respuesta parcial:

Dejemos que $v \in \mathbb{R}^3$ sea tal que $Dv = 0$ . Desde $D = R^{-1} - tr(R)I$ vemos que

$$R^{-1}v = tr(R)v$$

Ahora bien, como $R^{-1}$ es una matriz de rotación y la última ecuación establece que $v$ es un vector propio de $R^{-1}$ debemos tener eso $v$ se encuentra en el eje de rotación de $R$ y $R^{-1}$ y además que $tr(R) = 1$ o $tr(R) = -1$ : las rotaciones no pueden hacer que los vectores sean más largos o más cortos, así que $\pm 1$ son los únicos valores propios.

Esto te dice algo: o tenemos

$$r_{11} + r_{22} + r_{33} = 1$$ O $$r_{11} + r_{22} + r_{33} = -1$$ .

Por el contrario, siempre que $R$ es una matriz de rotación que satisface la PRIMERA de las dos últimas ecuaciones sabemos que $D$ es singular porque $R$ siendo una rotación, necesariamente TIENE un eje de rotación y los vectores en ese eje por lo tanto SON valores propios con valor propio 1.

La pregunta más interesante es qué ocurre cuando $r_{11} + r_{22} + r_{33} = -1$ . Las únicas rotaciones con valor propio $-1$ son los de más de $180$ grados y así se obtienen algunas restricciones adicionales en el $r_{ij}$ para incorporar eso.

En resumen:

Las soluciones son:

• Cualquier matriz de rotación con traza igual a 1 (ten en cuenta que no he comprobado si existen realmente, eso te lo dejo a ti)
• Matrices de rotación con traza $-1$ codificando una rotación sobre $180$ grados

No hay otros. Les dejo a ustedes la tarea de calcular los valores correspondientes de los $r_{ij}$ .