Para un fijo $b>0$ ¿Qué valor de $z$ satisface | $1-(\dfrac{1}{z})|>b$

Question

Necesito ayuda con esta pregunta para mi módulo de matemáticas, no estoy seguro de si mi respuesta es correcta, ya que cuando intenté eliminar el módulo multiplicando por 1 y -1 obtuve respuestas Impares.

Answer 1

El subconjunto $A = \{z \in \mathbb Z \mid \vert z-1 \vert >b\} \subseteq \mathbb C$ es el complemento del disco cerrado centrado en $1$ de radio igual a $b$ .

El subconjunto $B = \{z \in \mathbb Z \mid \vert 1/z-1 \vert >b\} \subseteq \mathbb C$ es el subconjunto tal que $B = \{z \in \mathbb Z \mid \vert \varphi(z) \vert >b\}$ donde $\varphi$ es el homografía $\varphi : z \mapsto \frac{1}{z}$ . Como esta homografía transforma los círculos que no pasan por el origen en círculos que no pasan por el origen, $B$ es el disco abierto cuya frontera es la imagen del círculo por $\varphi$ del círculo $\vert z-1 \vert = b$ .

Answer 2

Simplificando:

$$\vert1-\frac{1}{z}\vert > b$$

$$1-\frac{1}{z} >b,1-\frac{1}{z}<-b$$

$$\frac{1}{z}<1-b,\frac{1}{z}>1 + b$$

$$z> \frac{1}{1-b},z < \frac{1}{1 + b}$$

Vemos que si $0<b<1$ , $\frac{1}{1-b}>\frac{1}{1+b}$ . Entonces, $z$ puede estar en las dos regiones disjuntas donde es menor que $\frac{1}{1+b}$ o cuando es mayor que $\frac{1}{1-b}$ . Por otro lado, si $b>1$ entonces $\frac{1}{1-b} < \frac{1}{1+b}$ Así que $z$ debe ser simultáneamente mayor que $\frac{1}{1-b}$ y más pequeño que $\frac{1}{1+b}$ . Por último, si $b=1$ debemos tener $z<0$ por lo que la parte en valor absoluto es mayor que $1$ . Así, tenemos:

$$\boxed{z\neq 0\text{ and } \begin{cases} z\in\big(-\infty, \frac{1}{1+b}\big)\cup\big(\frac{1}{1-b},\infty\big) &0<b<1 \\ z\in(-\infty, 0) & b = 1\\ z \in\big(\frac{1}{1-b},\frac{1}{1+b}\big)& b > 1 \end{cases}}$$

Nota: Este enfoque es sólo para $z\in\mathbb{R}$ .

Answer 3

Desde $$ \left| 1 - \frac{1}{z} \right| > b $$ obtener \begin{align*} 1 - \frac{1}{z} &> b & &\text{or} & -\left(1 - \frac{1}{z}\right) &> b \\ 1 - \frac{1}{z} &> b & &\text{or} & 1 - \frac{1}{z} &< -b \\ 1 - b &> \frac{1}{z} & &\text{or} & 1 + b &< \frac{1}{z} \\ \begin{cases} \frac{1}{1 - b} < z ,& b \neq 1 \\ 0 > z ,& b = 1 \end{cases} && &\text{or} & \frac{1}{1 + b} &> z \\frac{1} \fin{a} {align*} (No tenemos que considerar $b = -1$ a la derecha porque se nos da $b > 0$ .)

Escojamos tres valores de $b$ para ver lo que está sucediendo. Observe que siempre tienen $z \neq 0$ del planteamiento original del problema.

• $b = 1/2$ : Tenemos $z \neq 0$ y $2 < z$ o $2/3 > z$ . Así que $z \in (-\infty, 0) \cup (0, 2/3) \cup (2,\infty)$ .
• $b = 1$ : Tenemos $z \neq 0$ y $ z < 0$ o $1/2 > z$ . Así que $z \in (-\infty,0) \cup (0, 1/2)$ .
• $b = 2$ : Tenemos $z \neq 0$ y $-1 < z$ o $1/3 > z$ . Así que $z \in (-1 ,0) \cup (0,1/3)$ .

Podemos trazar para ver más claramente lo que está pasando.

Para valores muy pequeños de $b$ Sólo rechazamos $z$ cerca de $1$ (porque la resta en el módulo es casi nula). Al cruzar $b = 1$ , perdemos el intervalo (lejano) de la derecha y el intervalo de la izquierda deja de ser infinito. Para grandes $b$ Sólo permitimos $z$ cerca de cero, ya que el resultado de la resta es entonces un gran número negativo.

Answer 4

Una pista:

Está claro que tienes problemas cuando $z=0$ (división por $0$ ) y $z =1$ $\left(1-\frac1z = 0\right)$ Así que trata de los cinco casos:

• $z <0$
• $z =0$
• $0 <z <1$
• $z =1$
• $1 <z$

y ver lo que implica cada uno cuando también hay que satisfacer $\left|1-\frac1z \right|>b$ .