Utilizar las propiedades de la varianza para hallar la desviación estándar de una muestra

Question

La pregunta es: La desviación estándar de la masa media de una muestra de 2 berenjenas es 20 g menor que la desviación típica de la masa de una sola berenjena. Encuentre la desviación estándar de la masa de una berenjena.

Así que elegí X como la masa de una berenjena, y establecí una ecuación:

$\sqrt{Var(X_1 + X_2)+20}=\sqrt{Var(X)}$

$Var(X_1 + X_2)+20=Var(X)$

$2Var(X)+20=Var(X)$

Pero entonces obtengo un valor negativo de $Var(X)$ . ¿Qué he hecho mal?

Edición: Me he dado cuenta de que como es una muestra, debería ser $Var(\frac{X_1 + X_2}{2})$ . Así que hice una ecuación así, asumiendo $X_1+X_2=2X$ . Pero de nuevo no tengo la respuesta por alguna razón.

$\frac{1}{4}(2)Var(X)+20=Var(X)$

$\frac{1}{2}Var(X)+20=Var(X)$

$\frac{1}{2}Var(X)=20$

$Var(X)=40$

Y así la desviación estándar sería $\sqrt{40}$ . Pero aparentemente la respuesta es 68,3g. ¿Alguien sabe qué he hecho mal?

Answer 1

Sus problemas son que la masa media es $\frac{X_1+X_2}2$ no $X_1+X_2$ y que la ecuación debe ser con $+20$ fuera de la raíz cuadrada:

$$\sqrt{\text{Var}\left(\frac{X_1+X_2}2\right)} +20 = \sqrt{\text{Var}(X)}$$

Answer 2

La media es $\frac{X_1+X_2}{2}$

Y $Var\left(\frac{X_1+X_2}{2} \right)=\frac14\cdot (Var(X_1)+Var(X_2))$

Desde $X_1$ y $X_2$ son iid, $\frac14\cdot (Var(X_1)+Var(X_2))=\frac{Var(X_1)}2$

Así, la ecuación $\frac{\sigma_1}{\sqrt 2}+20=\sigma_1$

Por lo tanto, $\sigma_1=\sigma_2=20(2+\sqrt 2)\approx 68.28$

Answer 3

\begin{align} \sqrt{Var(\bar{X})} + 20 &= \sqrt{Var(X)} \\ \sqrt{Var(X)/2} + 20 &= \sqrt{Var(X)} \\ \sqrt{Var(X)} &= \frac{20}{1-\sqrt{1/2}} = \frac{20\sqrt2}{\sqrt2-1} = 20\sqrt2 (\sqrt2 + 1) \end{align}