por qué la diferencia entre $\langle \hat p^2 \rangle_{\psi}$ y $\langle \hat p \rangle_{\psi}^2$ NO es cero?

Question

Bueno, la diferencia entre las dos expresiones $\langle \hat p^2 \rangle_{\psi}$ y $\langle \hat p \rangle_{\psi}^2$ es exactamente $\Delta p^2$ es decir, la incertidumbre al cuadrado (varianza) del momento, donde el $\hat p$ es el operador de momento y la incertidumbre sobre el operador de momento se define por: $$\Delta p= \sqrt {\langle \hat p^2 \rangle_{\psi} - \langle \hat p \rangle_{\psi}^2}$$ . por qué la diferencia entre $\langle \hat p^2 \rangle_{\psi}$ y $\langle \hat p \rangle_{\psi}^2$ NO es cero?

Answer 1

El hecho de que las cantidades $\langle p^2\rangle$ y $\langle p\rangle^2$ son diferentes no es algo específico de la mecánica cuántica, sino que existe en cualquier contexto en el que se pueda definir un valor medio. Tomemos un ejemplo sencillo y supongamos que $p$ es una variable aleatoria binaria equilibrada que puede tomar los valores $+1$ y $-1$ . Como la variable está equilibrada, se tiene $\langle p\rangle=0$ y $\langle p\rangle^2=0$ . Por otro lado $(+1)^2=1=(-1)^2$ Así que $p^2=1$ en todos los casos y $\langle p ^2\rangle = 1 \neq \langle p \rangle^2$ .

La diferencia entre ambas cantidades se denomina desviación y su raíz cuadrada es el desviación estándar $\sigma$ . Esta cantidad es la más utilizada en estadística para medir la amplitud de una distribución de probabilidad. Siempre es positiva y $\sigma=0$ si y sólo si la variable aleatoria es constante.

Answer 2

Bien, la diferencia entre las dos expresiones es exactamente $(\Delta p)^2$ es decir, la incertidumbre al cuadrado (varianza) del momento, como dice correctamente la propia pregunta.

Sin duda, la verdadera pregunta es por qué no es cero. No es cero. Sólo tienes que escribir la función $\psi$ en la representación del momento. Entonces existe una distribución probabilística $$ \rho(p)=|\tilde \psi(p)|^2 $$ y los valores esperados de $p$ y $p^2$ son simplemente $$ \langle p \rangle = \int dp\,p\,\rho(p) $$ y $$ \langle p^2 \rangle = \int dp\,p^2\,\rho(p) $$ No hay ninguna razón para que esta última sea el cuadrado de la primera. Si primero elevas al cuadrado una función y luego la integras, es otra cosa que si primero la integras y luego elevas al cuadrado el resultado.

Por ejemplo, $\langle p\rangle$ es cero para una enorme familia de funciones $\rho(p)$ . Basta con que la distribución esté correctamente desplazada en la horizontal $p$ dirección. Para cada función $\rho(p)$ puede cambiarla a $\rho'(p) = \rho(p+P)$ para que el nuevo $\rho'(p)$ tiene $\langle p \rangle = 0$ .

Por otro lado, si quiere $\langle p^2 \rangle = 0 $ , necesitas $\rho(p)\sim \delta (p)$ : debe ser una función delta y la probabilidad de valores no nulos del momento tiene que ser cero, de lo contrario el valor de la expectativa sería claramente positivo ya que sería una combinación lineal positiva de términos no negativos y algunos de ellos serían estrictamente positivos.

Answer 3

Un simple cálculo muestra que $\langle p^2\rangle-\langle p\rangle^2= \left<\left(p-\langle p\rangle\right)^2\right>$ por lo que siempre es no negativo, y positivo a menos que $p$ tiene un valor determinado y nítido. Esto es válido tanto para las variables clásicas $p$ y para las variables cuánticas.