Evaluación de $\int_0^{\infty }{ \frac{(x^7)(1-x^{12})}{(1+x)^{28}}}dx$

Question

Evaluar: $$\int_0^{\infty } {\frac{(x^7)(1-x^{12})}{(1+x)^{28}}}dx$$

La respuesta es cero, pero no consigo averiguar los pasos.

Answer 1

Denotemos la integral por $I$ . Aplicando la sustitución $x \mapsto 1/x$ tenemos

$$ I = \int_{0}^{\infty} \frac{x^{-7}(1 - x^{-12})}{(1 + x^{-1})^{28}} \, \frac{dx}{x^{2}} = \int_{0}^{\infty} \frac{x^{7}(x^{12} - 1)}{(1 + x)^{28}} \, dx = -I. $$

Por lo tanto, $I = 0$ .