Determinar todas las funciones que satisfacen $f\left ( f(x)^{2}y \right )=x^{3}f(xy)$

Question

Denote por $\mathbb{Q}^{+} $ el conjunto de todos los números racionales positivos. Determinar todas las funciones $f: \mathbb{Q}^{+} \rightarrow \mathbb{Q}^{+}$ que satisfacen la siguiente ecuación para todos $x,y \in \mathbb{Q}^{+}:$ $$f\left ( f(x)^{2}y \right )=x^{3}f(xy).$$

Lo que he intentado es ... Sustituyendo $y=1$ obtenemos $$f\left ( f(x)^{2} \right )=x^{3}f(x).$$

Entonces, siempre que $f(x)=f(y)$ tenemos $$x^{3}= \frac{f\left ( f(x)^{2} \right )}{f(x)}= \frac{f\left ( f(y)^{2} \right )}{f(y)}=y^{3}$$ lo que implica $x=y$ por lo que la función $f$ es inyectiva. y creo que estoy atascado aquí, cualquier ayuda será apreciada, gracias.

Tenga en cuenta que se trata de una pregunta de la Olimpiada (IMO2010 SL, Problema A5).

Answer 1

Ok, completaré con tu solución...

$$f\left ( f(x)^{2}y \right )=x^{3}f(xy) \tag{1}.$$

$$f\left ( f(x)^{2} \right )=x^{3}f(x) \tag{2}.$$

Ahora sustituye $x$ por $xy$ en $(2)$ Aplicar ahora $(2)$ dos veces, la segunda a $\left (y, f(x)^{2} \right )$ en lugar de $(x,y)$ $$f\left ( f(xy)^{2} \right )=(xy)^{3}f(xy)=y^{3}f\left ( f(x)^{2}y \right )=f\left ( f(x)^{2} f(y)^{2} \right )$$ Desde $f$ es inyectiva, obtenemos $$f(xy)^{2}=f(x)^{2}f(y)^{2}$$ $$f(xy)=f(x)f(y)$$

Por lo tanto, $f$ es multiplicativa. Esto implica también $f(1)=1$ y $f(x^n)=f(x)^n$ para todos los números enteros $n.$

Entonces la ecuación de la función $(1)$ puede reescribirse como $$f\left ( f(x) \right )^{2} f(y)=x^{3}f(x)f(y)$$ $$f\left ( f(x) \right )=\sqrt{x^{3}f(x)} \tag{3}$$

Sea $g(x)=xf(x)$ . Entonces, por $(3),$ tenemos $$g\left ( g(x) \right )=g\left (xf(x) \right )=xf(x)\cdot f\left (xf(x) \right )=xf(x)^{2} f\left ( f(x) \right )=xf(x)^{2}\sqrt{x^{3}f(x)}=\left ( xf(x) \right )^{5/2}=\left ( g(x) \right )^{5/2}$$

y, por inducción, $$\underset{n+1}{\underbrace{g ( g(....g}}(x)....) )=\left ( g(x) \right )^{(5/2)^{n}} \tag{4}$$

para cada número entero positivo $n.$

Considere $(4)$ para un xed $x.$ El lado izquierdo es siempre racional, por lo que $\left ( g(x) \right )^{(5/2)^{n}}$ debe ser racional para cada $n$ . Demostramos que esto sólo es posible si $g(x)=1$ . Supongamos que $g(x)\neq 1$ y que la factorización prima de $g(x)$ sea $g(x)=p_{1}^{\alpha _{1}}... p_{k}^{\alpha _{k}}$ donde $p_{1}...p_{k}$ son primos distintos y $\alpha _{1}...\alpha _{k}$ son enteros distintos de cero. Entonces la única factorización prima de $(4)$ es

$$\underset{n+1}{\underbrace{g ( g(....g}}(x)....) )=\left ( g(x) \right )^{(5/2)^{n}} =p_{1}^{(5/2)^{n}{\alpha _{1}}}...p_{k}^{(5/2)^{n}{\alpha _{k}}}$$

donde los exponentes deben ser enteros. Pero esto no es cierto para valores grandes de $n$ por ejemplo $(\frac{5}{2})^{n} \alpha _{1}$ no puede ser un número entero cuando $2^{n}\not{\mid } \alpha $ . Por lo tanto $g(x) \neq 1$ es imposible.

Por lo tanto, $g(x)=1$ y así $f(x)=\frac{1}{x}$ para todos $x$ .

La función $f(x)=\frac{1}{x}$ satisface la ecuación $(1)$ :

$$f\left ( f(x)^{2}y \right )=\frac{1}{f(x)^{2}y}=\frac{1}{(\frac{1}{x}^{2})y}=\frac{x^{3}}{xy}=x^{3}f(xy).$$

Y YA ESTÁ. "SP3ED"

Answer 2

Sea $P(x,y)$ sea la afirmación: $$ f(f(x)^2y)=x^3f(xy)\space\forall x,y\in\mathbb{Q^+} $$ Obtenemos (debido a la inyectividad): $$ P(1,y): f(f(1)^2y)=f(y)\iff f(1)^2y=y\iff f(1)=1 $$ $$ P(x,f(y)^2): f(f(x)^2f(y)^2)=x^3f(xf(y)^2)=x^3y^3f(xy) $$ $$ P(xy,1): f(f(xy)^2)=x^3y^3f(xy) $$ Si combinamos los dos últimos resultados, obtenemos: $$ f(f(xy)^2)=f(f(x)^2f(y)^2)\iff f(xy)=f(x)f(y) $$ Ahora defina $g(x):=xf(x)$ : $$ P(x,x^2): f(x^2f(x)^2)=x^3f(x^3)\iff f(x)^2f(f(x))^2=x^3f(x^3)\iff g(f(x))=g(x)^{\frac{3}{2}} $$ Si iteramos esta relación, obtenemos: $$ g(x)^{\frac{3^n}{2^n}}=g(f^n(x)) $$ Dónde $f^n$ denota el $n$ -ésima iteración de $f$ . Por lo tanto, puesto que $g(x)^{\frac{3^n}{2^n}}$ es racional, $g(x)^{\frac{1}{2^n}}$ debe ser racional para todos $n\in\mathbb{N_0}$ y así $g(x)=1$ . Por lo tanto, obtenemos la única solución: $$ f(x)=\frac{1}{x}\space\forall x\in\mathbb{Q^+} $$

Answer 3

$f(f(x)^2f(z)^2)=x^3f(xf(z)^2)=x^3z^3f(xz)$ así que $f(x)f(z)=f(xz)f(1)=f(xz)$ porque $f$ es inyectiva. Así que $f(x)$ está definido por todos los valores de $f(p)$ para $p$ de primera.
$f(f(x))^2=x^3f(x)$ así que $f(p)=g(p)^2/p$ para un número racional $g(p)$ .
$$f(f(p))=f(g(p)^2/p)^2=p^3g(p)^2/p=p^2g(p)^2\\ f(g(p)^2/p)=pg(p)\\ f(g(p))^2=(g(p))^3$$ Así que $g(p)$ es un número cuadrado, $g(p)=h(p)^2$ . Entonces $f(h(p))^2=(h(p))^3$ y por la misma razón, $h(p)=i(p)^2=j(p)^4=\cdots$
Así que $g(p)=1$ para todos $p$ y $f(x)=1/x$