Mi problema es el siguiente: Estoy tratando de modelar un polvo (gas relativista sin presión) en presencia de un campo electromagnético utilizando la ecuación de Vlasov sin colisión (versión relativista de la ecuación de Boltzmann). Por favor, tenga en cuenta que estoy en el espaciotiempo plano de Minkowski con la firma $(+,-,-,-)$ .
Entonces, tengo lo siguiente:
Ecuación de Vlasov sin colisión:
$ p^\mu \partial_\mu f_k + q_k\left(p^0\vec E +\vec p \times \vec B\right)\cdot \frac{\partial f_k}{\partial \vec p} = 0$
Todo está en el caparazón de la masa, así que, $p^0=\sqrt{\vec p^2+m^2}$
Ahora, sé que la corriente y el tensor de tensión están dados por:
$j^\mu = m \int \frac{d^3\vec p}{p^0} p^\mu f_k(x^\mu,\vec p)$
$T^{\mu\nu} = m \int \frac{d^3\vec p}{p^0} p^\mu p^\nu f_k(x^\mu,\vec p)$
Usando la ecuación de vlasov directamente llego a:
$\partial_\mu j^\mu = 0$
$\partial_\mu T^{\mu\nu} = q_k F^{\nu\mu}j_\mu$
Y también sé que el tensor de tensión para el polvo es:
$T^{\mu\nu}= \rho u^\mu u^\nu$
donde $\rho$ sería la densidad de masa del polvo. Quería encontrar la $f_k$ la densidad de probabilidad en el espacio de fase que me daría el tensor de energía de tensión anterior y también satisfaría la ecuación de vlasov.
Mi suposición fue:
$f_k = \frac{p^0}{m^2} n_k(x^\mu) \delta (\vec p - \vec p_k(x^\mu))$
Con $n_k$ siendo una densidad numérica propia en el espacio, ya que, al enchufar esto en la definición del tensor de tensiones, llego a
$T^{\mu\nu}_k = \frac{n_k}{m} p^\mu p^\nu$
Que es más o menos lo que estaba buscando. El problema comienza cuando intento que esto satisfaga la ecuación de vlasov, lo que hago es derivar la ecuación anterior, separar el término en $\delta$ y el de $\delta'$ , y cualquier final en cada término es igual a cero por sí mismo. Haciendo esto llego aquí:
$p^\mu_k \partial_\mu \vec p_k = q_k (p^0_k \vec E + \vec p_k \times \vec B)$
$p^\mu_k \partial_\mu n_k = -n_k q_k \frac{\vec p}{p^0} \cdot \vec E$
Entonces, la primera ecuación está bien, puedo convertirla en $p^\mu_k \partial_\mu p_k^\nu = q_k F^{\nu\mu}p_{k\ \mu}$ y obtengo una bonita ecuación covariante para $p^\mu_k$ . Mi dolor de cabeza está en la segunda. El lado derecho, por lo que pude imaginar, no es invariante de Lorentz, y así echa a perder todo el mérito de mi anterior conjetura.
Para complicar aún más las cosas, cuando intento derivar $T^{\mu\nu}_k$ y utilizo las ecuaciones para $n_k$ y para $p^\mu_k$ Me sale lo siguiente:
$\partial_\mu T^{\mu\nu} = q_k n_k F^{\nu\mu} p_{k\ \mu} + n_k \left[\partial_\mu p^\mu_k - n_k q_k \frac{\vec p}{p^0} \cdot \vec E \right] p^\nu_k$
Que es lo que yo quería más una basura al final que no he encontrado cómo quitar, estropeando así la ecuación original que tenía en primer lugar. También tengo una situación similar cuando trato de calcular $\partial_\mu j^\mu_k$ .
Por lo tanto, mis preguntas son las siguientes:
1) ¿Alguien conoce la densidad de probabilidad correcta en el espacio de fase para recuperar el tensor de tensión del polvo? Si no es así, ¿hay algo obviamente erróneo en mi suposición?
2) Si mi suposición es razonable, ¿he hecho algún cálculo erróneo por el camino que me haga tener los problemas anteriores? (Lo que me molesta no es sólo ese feo término no covariante sino también el $\partial_\mu p^\mu_k$ que no tengo ni idea de cómo tratar).
