En Inferencia estadística de Casella & Berger, en la demostración de un teorema (teorema 5.3.1, página 220 en particular) me encontré con la siguiente proposición:
"la distribución de $\frac{X_2 - X_1}{\sqrt 2}$ es $N(0,1)$ " donde $X_2, X_1$ son variables aleatorias iid con la misma media $\mu$ y la varianza $\sigma^2$ .
Pero a pesar de las horas que he pasado intentándolo, no he podido demostrar esta proposición aunque parezca bastante sencilla. Intenté utilizar los MGF:
\begin{align*} M_{\frac{X_2-X_1}{\sqrt 2}}(t)&=E\left[e^{t\frac{X_2-X_1}{\sqrt 2}}\right]\\ &=E\left[e^{t\frac{X_2}{\sqrt 2}}\right]E\left[e^{t\frac{-X_1}{\sqrt 2}}\right]\\ &=\left(e^{\frac{1}{\sqrt 2}\mu t+\frac{1}{4}t^2\sigma ^2}\right)\left(e^{\frac{-1}{\sqrt 2}\mu t+\frac{1}{4}t^2\sigma ^2}\right)\\ &=e^{0t+\frac{1}{2}t^2\sigma ^2} \end{align*}
así $\frac{X_2-X_1}{\sqrt 2} \sim N(0,\sigma ^2)$ , por lo que he encontrado que la varianza no es igual a $1$ . ¿Cuál es mi error aquí?
