Por un número real concreto $x$, la diferencia entre cualquier dos de $x ^ {1919} $, $x ^ {1960} $ y $x ^ {2100} $ es siempre un número entero. ¿Cómo se probaría que $x$ es un número entero?
Respuesta
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Michael Steele
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En primer lugar, demostrar que $x$ es racional.
Decir $x^{2100} x^{1919} = a > 0$ y $x^{1960} x^{1919} = b > 0$.
Obviamente, $x$ es algebraica, de la licenciatura en más de $1960$. Tenemos que mostrar que la $2099$ otras soluciones complejas a la primera ecuación y la $1959$ otras soluciones para el segundo son distintos.
Aquí, ayuda a trazar los números complejos a $z$ tales que $z^{2100} z^{1960}$ es un real positivo, y de manera similar con $z^{1960} z^{1919}$. Que la gráfica debe ver como un montón de concéntricos "líneas".
Tenemos un asintótica para el desarrollo de las raíces :
Las raíces de $x^{2100} x^{1919} = $ $\alpha + \frac 1 {2100}\alpha^{-180} + \frac {1739}{8820000}\alpha^{-361} + \ldots$ donde $\alpha^{2100} =$.
Del mismo modo, las raíces de $x^{1960} x^{1919} = b$ son $\beta + \frac 1 {1960}\beta^{-40} + \frac{1879}{7683200}\beta^{-81} + \ldots$ donde $\beta^{1960} = b$
Mirando el primer término elimina todos los candidatos de la raíz, excepto $10$ : Desde $mcd(2100,1960) = 10$, la única manera posible de argumentos comunes para $\alpha$ y $\beta$ son $10$ múltiplos de $\pi/5$ : $\alpha^{10}$ y $\beta^{10}$ tiene que ser positivo reales si desea que las dos raíces de tener una remota posibilidad de ser iguales.
Nos quedamos con el eje real y $8$ pares de "líneas" que se ven muy juntos. Buscando en el segundo término de la expansión, vemos que es real, y muy rápidamente, $\beta^{-40}/1960$ es mucho mayor que $\alpha^{-180}/2100$, así que a menos que recoger las raíces reales, los de la línea de estancia distintos el uno del otro.
Por lo tanto, cualquier solución simultánea a las dos de la ecuación tiene que ser una de las dos soluciones reales. Y de nuevo, la negativa de las soluciones son $-x + \frac 2 {2100}x^{-180} + \ldots$ y $x + \frac 2 {1960} x^{-40} + \ldots$, y son diferentes para $x$ lo suficientemente grande.
Una vez que usted sabe que $x$ tiene sólo un conjugado, y es racional, escribir $x = c/d$ con coprime $c$ y $d$. Desde $c^{2100} = c^{1919}d^{181} + ad^{2100}$, $d^{181}$ divide a $c^{2100}$, por lo tanto, si $p$ es un factor principal de $d$, $p$ también divide a $c$, lo cual es imposible. Por lo tanto $d=1$ y $x$ es un número entero.
