¿Cómo es que $\left(2 - \frac{1}{2^{k}}\right) + \frac{1}{2^{k + 1}}$ convertirse en $2 - \frac{1}{2^{k+1}}$ ?

Question

Estoy estudiando la inducción aquí y a lo largo de la prueba que obtuvimos de aquí:

$$ \begin{align} &\left(2 - \frac{1}{2^{k}}\right) + \frac{1}{2^{k + 1}} \tag1\\[0.75em] =\; &2 - \frac{1}{2^{k+1}} ( 2-1) \tag2\\[0.75em] =\; &2 - \frac{1}{2^{k+1}} \tag3 \end{align}$$

¿Cómo se hizo?

Answer 1

Lo hicieron sumando las dos fracciones: $\frac{1}{2^k}$ - $\frac{1}{2^{k+1}}$
Cuando se trata de los denominadores, se puede escribir $2^{k+1}$ como ${2^k}$$ \cdot $${2^1}$
Entonces el $2^k$ se anula con el denominador de la primera fracción y queda $2$$ \cdot $$1$ que suma 2. En la segunda fracción sólo queda 1.

Entonces todo esto se suma: $\frac{2}{2^{k+1}}$ - $\frac{1}{2^{k+1}}$ . Puedes sacar $2^{k+1}$ que es igual a $\frac{1}{2^{k+1}}$$ (2-1)$ \= $\frac{1}{2^{k+1}}$ . Con la expresión completa esto equivale a lo que necesitábamos, $2$ - $\frac{1}{2^{k+1}}$