Para resumir lo publicado en los comentarios por Henrik Rüping y Misha:
Hay dos posibles obstáculos para que esto sea cierto. El primero es que no toda homotopía-equivalencia desciende a un homeomorfismo. Este fenómeno es el tema de la (no resuelta en 2019) Conjetura de Borel (también se discute aquí ). La segunda es que no todo automorfismo de $\pi_1$ genera una homotopía-equivalencia - ¡puede haber obstáculos de mayor dimensión!
Para concretarlo, consideremos los siguientes ejemplos.
Para la primera obstrucción, dejemos $X=S^1\vee S^1$ . Llamamos a los generadores de los grupos fundamentales de cada copia de $S^1$ sea $a$ y $b$ entonces, por ejemplo, por el teorema de Seifert-van Kampen, $\pi_1(X)$ es el grupo libre $\langle a,b\rangle$ . Así, $a\mapsto a, b\mapsto ab$ define un automorfismo de $\pi_1(X)$ .
Pero podemos clasificar los auto-homogeneos de $X$ con bastante facilidad. Fijar un auto-homoeomorfismo $f$ . Para cada punto $p\in X$ Elige un barrio pequeño $N_p$ y contar las componentes conectadas de $N\setminus\{p\}$ . Este número debe ser conservado por $f$ , por lo que debemos tener $f(o)=o$ , donde $o$ es el punto de unión de $X$ . Además, $f$ debe asignar los componentes de $N_o\setminus\{o\}$ entre sí, y deben mapearse de tal manera que puedan extenderse al resto de cada círculo. Así que el grupo de auto-homorfismos se genera por las distorsiones de cada círculo e intercambiando los dos círculos. Ninguno de ellos induce $a\mapsto a, b\mapsto ab$ .
(Para ver que se trata de una homotopía-equivalencia que no desciende a un homeomorfismo, intenta visualizar cómo este automorfismo de $\pi_1$ afecta a la cubierta universal).
Para el segundo obstáculo, dejemos $f$ sea un auto-homeorfismo de $S^2$ con grado no trivial $d$ . Considere $Y=S^1\times[0,1]\times S^2$ y que $X=Y/(x,0,z)\sim(x,1,f(z))$ . $X$ es un haz de fibras no trivial de $S^2$ sobre el toroide, $S^1\times[0,1]/(x,0)\sim(x,1)\approx S^1\times S^1$ . Ahora, $\pi_1(S^2)=0$ Así que $\pi_1(X)=\pi_1(S^1\times S^1)$ . Para cada círculo del toro, $\pi_1(S^1)\cong\mathbb{Z}$ ; dejemos que los generadores sean $a$ y $b$ . Entonces $\pi_1(X)\cong\mathbb{Z}^2$ y ciertamente $a\mapsto b,b\mapsto a$ es un automorfismo del mismo.
La situación se invierte en grado $2$ : sólo la 2-esfera contribuye a $\pi_2$ para que $\pi_2(X)=\pi_2(S^2)\cong\mathbb{Z}$ . Pero ahora $a$ y $b$ se puede distinguir: $a$ actúa trivialmente sobre $\pi_2(X)$ pero $b$ actúa como traducción por $d$ . Así, $a\mapsto b,b\mapsto a$ no puede extenderse a un automorfismo de $\pi_2(X)$ .
